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《物理学中的一个非线性耦合偏微分方程组的精确解.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、兰州大学学报(自然科学版),1996,32(3):31～36JOURNALOFLANZHOUUNIVERSITY(NaturalSciences)物理学中的一个非线性耦合①X偏微分方程组的精确解周宇斌王明亮(兰州大学数学系,兰州730000)摘要用齐次平衡方法求出了由实际物理问题引出的一个非线性耦合偏微分方程组的含有任意函数的精确解;利用这个结果还求出了该方程组的初值—边值问题的精确解.关键词非线性偏微分方程组齐次平衡方法精确解初值-边值问题中图法分类号O175120引言当一束光照射均匀分布有感光分子的液体或胶片时,则引出一个非线性偶合
2、的偏微分方[1]程组5I=-AIN,(011)5x5N5I=b,(012)5t5x其中:I=I(x,t)和N=N(x,t)分别表示光强和感光分子的密度,a和b分别表示吸收常数和比例常数,x和t分别表示空间坐标和时间坐标.文献[1]利用通常的微分和积分技巧导出了方程组(011)和(012)的一个特殊的初值-[2,3]边值问题(初值和边值均为常数)的解;本文的目的是利用齐次平衡方法求出方程组(011)和(012)的含有任意函数的精确解;依据这个结果,进而求出了方程组(011)和(012)的一般初值—边值问题(边值与初值均为任意函数)的精确解
3、.我们讨论方程组(011)和(012)的方法与所得结果均比文献[1]更具一般性.1精确解现在用齐次平衡方法求方程组(011)和(012)的精确解.为此我们设方程组(011)和(012)的解具下形式m+n5f(U)I(x,t)=mn+f(U)关于x和t的低于m+n阶的某些偏导数的线性组合5x5t(m+n)mn=f(U)UxUt+U(x,t)的各种偏导数为变元的次数低于m+n的某多项式(不管f及其各阶导数),(111)X收稿日期:1996203220.①国家自然科学基金和甘肃省自然科学基金资助项目.©1994-2010ChinaAcadem
4、icJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net32兰州大学学报(自然科学版)32卷p+q5g(U)(p+q)pqN(x,t)=pq+⋯=gUxUt+⋯,(112)5x5t其中:m,n,p和q是非负整数,f(U)和g(U)是适当光滑的单变元函数,U=U(x,t),它们都是待定的.(112)式中未写出的部分与(111)式的相应部分类似.为简单计,这里以及今后将省去这些类似的部分,也不再说明.下面我们的任务是求非负整数m,n,p和q,单变元函数f
5、(U)和g(U),函数U=U(x,t)以及确定(111)和(112)中线性组合的系数,使(111)和(112)满足方程组(011)和(012).由(111)和(112)易计算出方程(011)和(012)中的各项为(m+n+1)m+1nIx=fUxUt+⋯(113)(p+q+1)pq+lNt=gUxUt+⋯(114)(m+n)(p+q)m+pn+qNI=fgUxUt+⋯(115)为使(011)和(012)中各自的项能分别平衡,我们应分别要求(113)与(115)中的U的偏导数的最高幂次相等.(113)和(115)中的U的偏导数的最高幂次相
6、等得m+1=m+p,n=n+q,p=m+1,q+1=n,由此解得p=1,q=0,m=0,n=1.(116)将(116)代入(111)及(112),则(111)和(112)简单地具形式(选择其中线性组合的系数为零)5f(U)I==f′Ut,(111′)5t5g(U)N==g′Ux,(112′)5x于是(113)、(114)及(115)变为Ix=f″UxUt+f′Uxt,(113′)Nt=g″UxUt+g′Uxt,(114′)NI=f′g′UxU.t(115′)将(113′)与(115′)代入(011)并移项,将(113′)与(114′)代
7、入(012)并移项,分别得Ix+aNI=(f″+af′g′)UxUt+f′Uxt,(011′)Nt-bIx=(g″-bf″)UxUt+(g′-bf′)Ux.t(012′)为使(011′)及(012′)的右端为零,也即(111′)及(112′)满足方程(011)和(012),我们置(011′)和(012′)中UxUt的系数为零,即f″+af′g′=0,(117)g″-bf″=0,(118)和Uxt=0.(119)(117)和(118)有解1f=-lnU,(1110)ab©1994-2010ChinaAcademicJournalElect
8、ronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net3期周宇斌等:物理学中的一个非线性耦合偏微分方程组的粗确解331g=lnU.(1111)a
