某些非线性偏微分方程组解的空间结构研究

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1、StudyonthespatialbehaviorofthesolutionstosomenonlinearpartialdifferentialequationsByZhangShanSupervisor：Prof．LiuZuhanSchoolofMathematicalScienceYangzhouUniversityMay,2013Submittedintotal沁lfilment01therequirementsfo下thedegreeofPh．D．inPartialDifferentialEquations中文摘要一直以来，

2、描述多个物种竞争以及多组分Bose-Einstein凝聚态之间相互作用的非线性偏微分方程组中，解的空间结构一一共存或消亡，都是微分方程界研究的热点问题．特别是最近几年：人们对强竞争导致的解的空间分离现象表现出极大的兴趣．在竞争参数趋于正无穷的奇异极限问题中，解的支集相互分离，因而极限问题是一个自由边界问题．许多数学工作者，例如Caffarelli，林芳华，Dancer，和S．Terracini等对此类问题作了大量的研究，包括系统解对竞争参数的一致有界估计，奇异极限的正则性，产生自由边界的正则性以及极限系统解的唯一性．对它们的研究涉及偏

3、微分方程、几何测度论、泛函分析等多个数学分支．本文围绕强竞争参数的变化，对两类不同背景的非线性偏微分方程组解的空间分离行为进行系统的研究．具体内容由以下六章构成．第一章，简要地介绍与本论文研究问题有关的背景知识及其发展概况．第二章，我们研究了一个非自治的两种群抛物系统解的空间行为．我们证明了当竞争参数趋于正无穷时，系统的解在日1意义下强收敛到一个标量问题解的正部和负部．并进一步利用Kato不等式以及blow-up分析方法证明了系统解在c(Q丁)中的一致收敛性．第三章，我们研究非均质环境中相互竞争种群的空间行为．这里我们考虑两种群的反应

4、扩散对流方程组．我们首先利用解的先验估计：证明了竞争参数趋于正无穷时，系统的解在日1中弱收敛到某个标量问题解的正部和负部．进而，沿用Conti，Terracini，和Verzini等的blow．up方法，我们给出了系统解关于竞争参数的一致H61der估计．第四章，我们研究了一个强耦合的交错扩散椭圆系统．通过先验估计证明了该系统在强竞争下解的支集相互分离并给出了奇异极限满足的微分不等式系统．我们还进一步证明了奇异极限问题的解是唯一的，并且在相同边界条件下，它是某个能量泛函的极小．第五章，我们考虑了一个强耦合的Gross—Pitaevsk

5、ii复方程组．通过讨论组间与组内竞争系数之间的关系，建立了系统共存解的存在性．并利用能量方法证明了复值解的空间分离现象．对于两组分的情形，我们还证明了在一定条件下，奇异极扬州大学博士学位论文限问题中解也是共存的．第六章，我们考虑了一个分数次的非线性SchrSdinger方程组．主要讨论了竞争参数趋向正无穷时，奇异极限结点集的相关性质．在Terracini，Verzini和Zilio证明的关于奇异极限最优正则性结果基础上，我们证明了结点集除掉一个闭的Hausdorff维数为n一2的闭的奇点集，是C1，Q(VQ∈(o，1))超曲面．关键词

6、：自由边界问题，强竞争，共存，奇异极限，分数次调和算子AbstractIntheunderstandingofthespatialbehaviorofthesolutionstoaclassofpartialdifferentialequationsarisingfromBose-Einsteincondensatesorpopulationdynam—ics，problemsofcoexistenceandexclusionofinteractionspecieshavealwaysbeenahotissueinthefieldof

7、differentialequations．Inrecentyears，peopleshowalotofinterestsinspatialsegregationphenomenongovernedbystrongcompetition．Inthelimitingconfigurationasthecompetitionratetendstoinfinity,differentcomponentsofthesolutionarespatiallysegregated，thereforeinducingafreeboundaryprob

8、lem．Theseproblemshavebeeninvestigatedextensivelybymanymathematicresearcher-S，includingCagarelli，FanghuaLin，Dan