非线性方程组的解.ppt

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1、非线性方程组的解法简介小组成员：田芳王悦瑜冯同同杨林非线性方程组的解法1、基本概念非线性问题可以分为三类：几何非线性、材料非线性及边界条件非线性。无论哪一种非线性问题，总是最终归结为求解非线性代数方程组：式中：——荷载矩阵；——节点位移矩阵；——总体刚度矩阵。[K]不再是常数矩阵，而是随结构的应力和位移的变化而变化的。对于上述非线性代数方程组，常用解法有迭代法、增量法以及由两者结合起来派生的其他方法。非线性方程组的解法2、迭代法迭代法在每次迭代过程中都施加全部荷载，但逐步修改位移和应变，使之满足非线性的应力-应变关系。1）割线刚度迭代法割线

2、刚度迭代法是迭代法中比较简单的一种，又称直接迭代法，其迭代过程如图所示非线性方程组的解法在某级荷载P作用下，用初始刚度矩阵，求得位移的第一次近似值然后，利用求的单元的应变、应力，根据应力状态确定此刻的本构矩阵，再根据这一本构矩阵求得新的割线刚度矩阵,再求得位移的第二次近似值重复上述过程，可以得到n次近似解：直到误差的某种范数小于容许值，迭代即可终止：非线性方程组的解法特点：a)步骤简单。b)每步都要重新计算[K]，再重新分解并求解线性方程组，计算量大。c)收敛性有时难以保证，如图所示。非线性方程组的解法2)切线刚度迭代法切线刚度迭代法是一种

3、变刚度迭代法，但不是用割线刚度而是用变化的切线刚度。其迭代过程如图所示。这一迭代法又称为Newton-Raphson法。首先取初始刚度矩阵，求得位移的第一次近似值非线性方程组的解法由初始位移可以求得单元应变，进而求得单元应力。有单元应力可以求得相应的节点荷载。从而求得位移的第二次近似值为重复上述步骤第二步，用相应于时的切线模量，在荷载作用下求得位移增量，即直到误差的某种范数小于容许值，迭代即可终止非线性方程组的解法3)等刚度迭代法具体步骤：a)首先取初始刚度矩阵，求得位移的第一次近似值等刚度迭代法又称为修正的Newton-Raphson法，

4、这一方法在迭代过程中采用不变的刚度。b)按求出单元应变，有单元应变求的单元应力，其中为材料本构矩阵，由应力可以求得相当的节点力为其中，为几何矩阵，这样与原加荷载的差为非线性方程组的解法c)将再加于结构，仍用初始刚度求得附加位移将再加于结构，仍用初始刚度求得附加位移d)重复上述步骤，知道得到足够近似的解。特点：a)每轮迭代只改变荷载项，[K]保持不变，故只需分解一次系数矩阵，计算量大为减小。b)收敛性速度变慢。非线性方程组的解法3、增量法增量法的基本思想是将荷载划分为许多小的荷载部分（称为增量），这些荷载增量一般取成大小相等，也可根据需要改为

5、不等。计算时每次施加一个荷载增量。在一个荷载增量中，假定刚度矩阵是常数；在不同的荷载增量中，刚度矩阵可以有不同的数值。增量法使用一系列线性问题去逼近非线性问题，实质上时用分段线性去代替非线性曲线。非线性方程组的解法欧拉折线法计算第n个位移增量时，其刚度矩阵取为上一级荷载增量结束时的线性刚度矩阵，也即第n级荷载开始的线性刚度，即。欧拉折线法：设荷载分为m个增量：每个荷载增量产生一个位移，因而在施加n个荷载增量之后，总荷载为非线性方程组的解法2)由位移增量计算各单元应变增量及相应的应力增，并计算总的位移与应力3)增判断是不是最后一级荷载，如果是

6、最后一级荷载，则结束计算；若不是，则进行下一步计算；4)根据总应力水平，修正材料弹性常数，求出相应的单元刚度和集合总体刚度矩阵并转到步骤2)，施加下一步荷载增量。求解步骤：1)施加第n步荷载增量，利用始点线性刚度矩阵求得这一步荷载增量下的位移增量；非线性方程组的解法4、增量迭代法增量迭代法及荷载也划分为荷载增量，但增量上的个数较少，而对每一个荷载增量进行迭代计算。