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时间:2020-06-16
《解非线性方程组的牛顿迭代法.ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在PPT专区-天天文库。
1、7.4牛顿法7.4.1牛顿法及其收敛性牛顿法是一种线性化方法,其基本思想是将非线性方程逐步归结为某种线性方程来求解.设已知方程有近似根(假定),将函数在点展开,有于是方程可近似地表示为(4.1)这是个线性方程,记其根为,则的计算公式为1(4.2)这就是牛顿(Newton)法.牛顿法的几何解释.方程的根可解释为曲线与轴的交点的横坐标(图7-3).设是根的某个近似值,过曲线上横坐标为的点引切线,并将该切线与轴的交点的横坐标作为的新的近似值.图7-32注意到切线方程为这样求得的值必满足(4.1),从而就是牛顿公式(4.2)的计算结果.由于这种几何背景,牛顿法亦称切线法.牛顿法
2、(4.2)的收敛性,可直接由定理4得到,对(4.2)其迭代函数为由于假定是的一个单根,即,则由上式知,于是依据定理4可以断定,牛顿法在根的邻近是平方收敛的.3又因故由(2.9)可得(4.3)例7用牛顿法解方程(4.4)解这里牛顿公式为取迭代初值,迭代结果列于表7-5中.4所给方程(4.4)实际上是方程的等价形式.若用不动点迭代到同一精度要迭代17次,可见牛顿法的收敛速度是很快的.牛顿法的计算步骤:步骤1准备选定初始近似值,计算步骤2迭代按公式迭代一次,得新的近似值,计算步骤3控制如果满足或,则终5止迭代,以作为所求的根;否则转步骤4.此处是允许误差,而其中是取绝对误差或
3、相对误差的控制常数,一般可取.步骤4修改如果迭代次数达到预先指定的次数,或者,则方法失败;否则以代替转步骤2继续迭代.67.4.2牛顿法应用举例对于给定的正数,应用牛顿法解二次方程可导出求开方值的计算程序(4.5)这种迭代公式对于任意初值都是收敛的.事实上,对(4.5)式施行配方手续,易知7以上两式相除得据此反复递推有(4.6)记整理(4.6)式,得8对任意,总有,故由上式推知,当时,即迭代过程恒收敛.解取初值,对按(4.5)式迭代3次便得到精度为的结果(见表7-6).由于公式(4.5)对任意初值均收敛,并且收敛的速度很快,因此可取确定的初值如编成通用程序.例8求.97
4、.4.3简化牛顿法与牛顿下山法牛顿法的优点是收敛快,缺点一是每步迭代要计算及,计算量较大且有时计算较困难,二是初始近似只在根附近才能保证收敛,如给的不合适可能不收敛.为克服这两个缺点,通常可用下述方法.(1)简化牛顿法,也称平行弦法.其迭代公式为(4.7)迭代函数若在根附近成立,即取,则迭代法(4.7)局部收敛.10在(4.7)中取,则称为简化牛顿法,这类方法计算量省,但只有线性收敛,其几何意义是用平行弦与轴交点作为的近似.如图7-4所示.图7-411(2)牛顿下山法.牛顿法收敛性依赖初值的选取.如果偏离所求根较远,则牛顿法可能发散.例如,用牛顿法求方程(4.8)在附近
5、的一个根.设取迭代初值,用牛顿法公式(4.9)计算得迭代3次得到的结果有6位有效数字.12但如果改用作为迭代初值,则依牛顿法公式(4.9)迭代一次得这个结果反而比更偏离了所求的根.为了防止迭代发散,对迭代过程再附加一项要求,即具有单调性:(4.10)满足这项要求的算法称下山法.将牛顿法与下山法结合起来使用,即在下山法保证函数值稳定下降的前提下,用牛顿法加快收敛速度.将牛顿法的计算结果13与前一步的近似值适当加权平均作为新的改进值(4.11)其中称为下山因子,(4.11)即为(4.12)(4.12)称为牛顿下山法.选择下山因子时从开始,逐次将减半进行试算,直到能使下降条件
6、(4.10)成立为止.若用此法解方程(4.8),当时由(4.9)求得14,它不满足条件(4.10).通过逐次取半进行试算,当时可求得.此时有,而显然.由计算时,均能使条件(4.10)成立.计算结果如下:即为的近似.一般情况只要能使条件(4.10)成立,则可得到,从而使收敛.157.4.4重根情形设,整数,则为方程的重根,此时有只要仍可用牛顿法(4.2)计算,此时迭代函数的导数为且,所以牛顿法求重根只是线性收敛.若取16则.用迭代法(4.13)求重根,则具有2阶收敛,但要知道的重数.构造求重根的迭代法,还可令,若是的重根,则故是的单根.对它用牛顿法,其迭代函数为17从而可
7、构造迭代法(4.14)它是二阶收敛的.例9方程的根是二重根,用上述三种方法求根.解先求出三种方法的迭代公式:(1)牛顿法18(2)用(4.13)式(3)用(4.14)式取初值,计算结果如表7-7.19计算三步,方法(2)及(3)均达到10位有效数字,而用牛顿法只有线性收敛,要达到同样精度需迭代30次.207.5弦截法与抛物线法用牛顿法求方程(1.1)的根,每步除计算外还要算,当函数比较复杂时,计算往往较困难,为此可以利用已求函数值来回避导数值的计算.7.5.1弦截法设是的近似根,利用构造一次插值多项式,并用的根作为新的近似根.由于(5.1
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