试探函数法求解非线性偏微分方程精确解

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1、本文基于齐次平衡法导出Ｃｏｌｅ－Ｈｏｐｆ变换，结合试探函数法的基本思想构造了更具一般性的试探函数．并把新的试探函数成功应用到几类不同的非线性发展方程，从而它构成了一种既简洁又有效的求解方法．通过这种方法不仅可以得到双曲函数形式的解，三角函数形式的解，还可以得到有理解．因此该方法不仅推广了试探函数法而且丰富了一些非线性发展方程的精确解．这种方法的基本思想是首先引入Ｃｏｌｅ－Ｈｏｐｆ变换，然后根据具体的方程选择适当的试探函数，将其代入原方程并利用待定系数法确定未知系数，即可得到非线性发展方程的精确解．本文主要做了以下工作：第一章简要阐述了非线性发展方程的

2、研究内容及发展现状，并且回顾了孤立子理论的研究意义及发展历程．第二章运用试探函数法求解了一系列常系数非线性发展方程，首先结合Ｒｉｃｃａｔｉ方程求得组合ＫｄＶ方程多个不同形式的精确解，其次通过构造ＢＢＭ方程及ＫｄＶ方程适当的试探函数得到它们的有理解．最后将其推广到（２＋Ｉ）维方程，求解了２＋１维Ｂｕｒｇｅｒｓ方程和２＋１维Ｂｏｕｓｓｉｎｅｓｑ方程．第三章在第二章研究成果的基础上将试探函数法应用到变系数非线性发展方程，得到了变系数Ｂｕｒｇｅｒｓ方程，变系数ＫｄＶ方程，变系数ＫｄＶ—Ｂｕｒｇｅｒｓ方程，及２＋Ｉ维变系数ＫＰ方程的多个更为一般的试探函数解．第

3、四章总结研究成果，分别指出第二章，第三章用试探函数法求解常系数及变系数非线性发展方程的过程中的创新点及缺点和不足，展望非线性发展方程求解方法的发展前景．关键字非线性发展方程，孤立子，精确解，试探函数内蒙古师范大学硕士学位论文ＡＢＳＴＲＡＣＴＴｈｉｓｄｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎｃｏｎｓｔｒｕｃｔｅｄｔｈｅＣｏｌｅ－Ｈｏｐｆｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎｄａｍｏｒｅｇｅｎｅｒａｌｔｒｉａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｈｏｍｏｇｅｎｅｏｕｓｂａｌａｎｃｅｍｅｔｈｏｄａｎｄｔｈｅｉｄｅａｏｆｔｒｉａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ，ｒｅｓｐｅｃｔ

4、ｉｖｅｌｙ．ＴｈｅｎｅｗＶｉａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｉｓｓｕｃｃｅｓｓｆｕｌｌｙａｐｐｌｉｅｄｔｏｓｅｖｅｒａｌｋｉｎｄｓｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎ，ｗｈｉｃｈｍａｋｅｓａｓｉｍｐｌｅａｎｄｅｆｆｅｃｔｉｖｅｍｅｔｈｏｄｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｂｙｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｏｎｅｃａｎｇｅｔｔｈｅｈｙｐｅｒｂｏｌｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓｏｌｕｔｉｏｎｓ，ｔｒｉｇｏｎｏｍｅｔｒｉｃｆｕｎｃｔｉｏｎｓｏｌｕｔｉｏｎｓａｎｄｒａｔｉｏｎａｌｔｙｐｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｒ

5、ｅｆｏｒｅｔｈｅｍｅｔｈｏｄｎｏｔｏｎｌｙｅｘｔｅｎｄｓｔｈｅｔｒｉａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｎｄｅｎｒｉｃｈｅｓｔｈｅｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｓｏｍｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓ．ＴｈｅｂａｓｉｃｉｄｅａｏｆｔｈｉｓｍｅｔｈｏｄｉｓｆｉｒｓｔｔｏｉｎｔｒｏｄｕｃｅｔｈｅＣｏｌｅ—Ｈｏｐｆｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ，ｔｈｅｎｔｏｃｈｏｓｅａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅｔｒｉａｌｆｕｎｃｔｉｏｎａｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｇｉｖｅｎｅｑｕａｔｉｏｎｓａｎｄｔａｎｋｉｎｇｉｔｉｎｔｏｔｈｅｏｒｉｇｉｎａｌｅｑｕａｔ

6、ｉｏｎ，ｆｉｎａｌｌｙｔｏｄｅｔｅｒｍｉｎｅｔ．ｈｅｕｎｋｎｏｗｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓｂｙｕｓｉｎｇｔｈｅｍｅｔｈｏｄｏｆｕｎｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓｗｈｉｃｈｌｅａｄｓｔｈｅｅｘａｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒｇｉｖｅｎｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｗｏｒｋｉｎｔｈｉｓｄｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎｉｎｃｌｕｄｅｓｔｈｅｆｏｌｌｏｗｉｎｇ：Ｔｈｅｆｉｒｓｔｃｈａｐｔｅｒｂｒｉｅｆｌｙｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓｔｈｅｒｅｓｅａｒｃｈａｒｅａｏｆｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓ

7、ａｎｄｉｔｓｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｓ，ａｎｄｔｈｅｎｒｅｖｉｅｗｅｄｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆｓｏｌｉｔｏｎｓａｎｄｉｔｓｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｐｒｏｃｅｓｓ．Ｉｎｔｈｅｓｅｃｏｎｄｃｈａｐｔｅｒ，ｔｈｅｔｒｉａｌｆｕｎｃｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｉｓｕｓｅｄｔｏｓｏｌｖｅｓｏｍｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓｗｉｔｈｃｏｎｓｔａｎｔｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｓ．Ｆｉｒｓｔｗｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｔｈｅｍｕｌｔｉｐｌｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｆｏｒｍｓｏｆｅｘａｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎｓ内蒙古师范大学硕士学位论文ｏｆｔｈｅｃｏｍｂｉｎｅｄＫｄ

8、ＶｅｑｕａｔｉｏｎｗｉｔｈｔｈｅｈｅｌｐｏｆｔｈｅＲｉｃｃａｔｉｅｑｕａｔｉｏｎ．．Ｓｅｃｏｎｄ，ｔｈｅｒｅ