《数学分析报告》多元函数微分学.doc

《《数学分析报告》多元函数微分学.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第四章多元函数微分学一、本章知识脉络框图极限连续重极限与累次极限基本概念有界性极限存在的判别方法极值和最值基本性质极限与连续介值性偏导数可微性概念可微和连续可微的必要条件可微的充分条件复合函数微分隐函数微分计算参数方程微分多元函数微分学全微分（三元为例）df=fxdx+fydy+fzdz条件极值应用高阶导数与微分多元极值切线、法线、法平面、切平面泰勒公式二、本章重点及难点本章需要重点掌握以下几个方面容：l偏导数、全微分及其几何意义，可微与偏导存在、连续之间的关系，复合函数的偏导数与全微分，一阶微分形式不变性，方向导数与梯度，高阶偏导数，混合偏导数与顺序无关性，二元函数中值定理与T

2、aylor公式.l隐函数存在定理、隐函数组存在定理、隐函数（组）求导方法、反函数组与坐标变换.l几何应用（平面曲线的切线与法线、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线.l极值问题（必要条件与充分条件），条件极值与Lagrange乘数法.三、本章的基本知识要点(一)平面点集与多元函数1.任意一点与任意点集的关系.1)点.若存在点的某邻域，使得，则称点是点集的点。2)外点.若存在点的某邻域，使得，则称点是点集的外点。3)界点（边界点）.若在点的任何邻域既含有属于得的点，又含有不属于的点，则称点是点集的界点。4)聚点.若在点的任何空心邻域部都含有中的点，则称点是点集的聚点。5)孤立

3、点.若点，但不是的聚点，则称点是点集的孤立点。2.几种特殊的平面点集.1)开集.若平面点集所属的每一点都是的点，则称为开集。2）闭集.若平面点集的所有聚点都属于，则称为闭集。3)开域.若非空开集具有连通性，即中任意两点之间都可用一条完全含于得有限折线相连接，则称为开域。4）闭域.开域连同其边界所成的点集称为闭域。5）区域.开域、闭域或者开域连同某一部分界点所成的点集，统称为区域。3.上的完备性定理.1)点列收敛定义：设为平面点列，为一固定点。若对任给的正数，存在正整数，使得当时，有，则称点列收敛于点，记作或.2）点列收敛定理（柯西准则）平面点列收敛的充要条件是：任给正数，存在正整

4、数，使得当时，对一切自然数，都有.3）闭区域定理.设是中的闭域列，它满足：(i)(ii).则存在唯一的点.4)聚点定理.设为有界无限点集，则在中至少有一个聚点。5)有限覆盖定理.设为一有界闭域，为一开域族，它覆盖了（即），则在中必存在有限个开域，它们同样覆盖了（即）。4.二元函数定义：设平面点集，若按照某对应法则，中每一点都有唯一确定的实数与之对应，则称为定义在上的二元函数（或称为到的一个映射），记作,，且称为的定义域，所对应的为在点的函数值，记作或。（注：其它多元函数与二元函数相似）。（二）二元函数的极限。1.定义设为定义在上的二元函数，为的一个聚点，是一个确定的实数，若对，都

5、存在一个，使得时，都有.则称在上当时，以为极限，记作。有时简记为。当、分别用表示时，上式也可写作.2.重要定理及推论.1）的充要条件：对于的任一子集，只要是的聚点就有。2）设，是的聚点，若不存在，则也不存在。3）设、，是它们的聚点。若，，但，则不存在。4）极限存在的充要条件是：对于中任一满足条件的点列，它所对应的函数列都收敛。3.二元函数函数极限的四则运算.若，。则1)；2);3).4.累次极限.1)定义：对于函数，若固定存在，且也存在，则称为在处先对后对的累次极限，记为，类似可定义。2)重要定理及推论.①　若与（或）都存在，则它们相等；②　若，和都存在，则三者相等；③　若与都存

6、在但不相等，则不存在。（三）二元函数的连续性1.定义设为定义在点集上的二元函数，，若对，都存在一个，只要，就有则称关于集合在点连续。若在上任何点都连续，则称为上的连续函数。若，则称在处关于连续。同理可定义关于连续。2.复合函数的连续性定理设二元函数和在点连续，函数在点处连续，其中，则复合函数在点连续。3.有界闭域上连续函数的性质.1）若函数在有界闭域上连续，则在上有界，且能取得最大值与最小值；2）若函数在有界闭域上连续，则在上一致连续；3）若函数在有界闭域上连续,对任意的、，且，则对任何满足不等式的实数，必存在点，使得。4.元函数唯一存在与连续可微性定理。若1）函数在以为点的维空

7、间区域连续；2）偏导数在存在且连续；3）；4）；则在的某一邻域，方程唯一地确定了一个定义在的邻域上的n元连续函数使得:①②在连续偏导数：而且5.由方程组确定的隐函数（隐函数组定理）若：1）与在以点为点的区域连续；2）（为初始条件）；3）在具有一阶连续偏导数；4）在点处不等于零。则在点的某一（四维空间）邻域，方程组唯一地确定了定义在点的某一（二维空间）邻域的两个二元隐函数使得：①且当时，②在连续；③在有一阶连续偏导数，且6.（反函数组定理）若函数组满足如下条件：1）均是有连续的偏导