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1、§5.2偏导数与全微分一．基础知识1.偏导数设z=fxy(,)在(,xy)的某邻域有定义,则fxy(,)在00(,xy)处关于x或y的偏导数定义为00'∂ffx(0+∆xy,0)−fxy(,00)fxy(,)==limx00∂x(xy0,0)∆→x0∆x'∂ffxy(,00+∆y)−fxy(,00)fxy(,)==limy00(xy0,0)∆→x0∂y∆y类似可定义三元及三元以上函数的偏导数.2.方向导数与梯度⑴方向导数:z=fxy(,)在(,xy)处沿方向l的方向导数定00义为∂ffx(+tcos,αy+tcos)β−
2、fxy(,)0000=lim(xy0,0)+∂lt→0t→其中e=(cos,cos)αβ为l的单位方向向量.三元函数fxyz(,,)在(,xyz,)沿方向l的定义为000∂ffx(+tcos,αy+tcos,βz+tcos)γ−fxyz(,,)000000=lim(xyz0,0,0)+∂lt→0t→e=(cos,cos,cos)αβγ为l的单位方向向量.定理:若fxyz(,,)在(,xyz,)处可微,则f在(,xyz,)沿000000任意方向→l=(cos,cos,cos)αβγ的方向导数存在,且∂f'''=fxyz(,
3、,)cosα+fxyz(,,)cosβ+fxyz(,,)cosγ∂l(xyz0,0,0)x000y000z000⑵梯度若fxyz(,,)在(,,)xyz处可偏导(三个偏导数均存在),则称向量1→∂f→∂f→∂f→gradfxyz(,,)=i+j+k∂x∂y∂z为f在(,,)xyz处的梯度.∂f→→注:①用梯度表示方向导数有=lgradfxyz(,,),其∂l(xyz0,0,0)000→中l是方向l的单位方向向量.②梯度方向是fxyz(,,)在(,xyz,)处函数值增长最快的方向.0003.全微分⑴概念:设z=fxy(,)
4、在(,xy)的某邻域有定义.若00∆=zfx(+∆xy,+∆y)−fxy(,)000022可表示为∆=zA⋅∆+xB⋅∆+yo((∆x)+∆(y)),则称f在(,xy)处可微,00A⋅∆+xB⋅∆y称为f在(,xy)处的全微分,记作dz或00dfxy(,),00即dz=A⋅∆+xB⋅∆y.⑵可微的必要条件''定理:若z=fxy(,)在(,xy)可微,则fxy(,),fxy(,)均00x00y00存在,且''dz=dfxy(,)=fxy(,)∆+xfxy(,)∆y00x00y00⑶可微的充分条件''定理:若fxy(,)与f
5、xy(,)在(,xy)连续,则fxy(,)在xy00(,xy)可微.00注:①当z=fxy(,)在(,)xy可微时,全微分也写作∂f∂fdz=dx+(称为全微分公式).∂x∂x∂f∂f∂f②三元函数的全微分为dfxyz(,,)=dx+dy+dz.∂x∂x∂z24.高阶偏导数fxy(,)的偏导数的偏导数称为二届偏导数,二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导22∂∂f∂f"∂∂f∂f"数,等等.如()==f,()==f2xxxy∂x∂x∂x∂y∂x∂∂yx22∂∂f∂f"∂∂f∂f"()==f,()==fyx2yy∂x∂y∂∂xy∂
6、y∂y∂y三元及三元以上函数也可定义高阶偏导数.高阶偏导数不仅与对各自变量求导的次数有关也与对各自变量求导的次数有关,但我们有如下与求导次序无关的一个重要结果:""""定理:若f与f在(,)xy连续,则f(,)xy=f(,)xy.xyyxxyyx这一定理也可以推广到更高阶导数,可见当函数的f的所有n阶偏导数都连续,就与求偏的次序无关了.5.复合函数微分法则⑴链式法则:设z=fxy(,)可微,x=xst(,),y=yst(,)可偏导,则∂z∂f∂x∂f∂z∂z∂f∂x∂f∂y=⋅+⋅=⋅+⋅∂s∂x∂s∂y∂s∂t∂x∂t
7、∂y∂t⑵一阶微分形式不变性不论fuv(,)中uv,是中间变量还是自变量,总有∂f∂fdfuv(,)=du+dv∂u∂v6.多元函数连续、可偏导、可微等关系关系图注：用定义研究fxy(,)在(,xy)可微的方法:第一步，计算偏导数00''fxy(,),fxy(,),若至少有一个偏导数不存在,则f在x00y00(,xy)不可微,若两个偏导数均存在,则转入下一步.第二步,研003''∆−z((,fxy)∆+xfxy(,)∆y)?x00y00究极限lim=0,若是,则f(∆∆→x,y)022(∆x)+∆(y)在(,xy)可微,
8、若不是,则f在(,xy)不可微.00007.向量值函数的导数与微分→→nm若f=(,ff,⋯,f)是D⊂R→R的映射.x∈D,称12m0矩阵⎛∂f→∂f→∂f→⎞111()x()x⋯()x⎜000⎟∂x∂x∂x⎜12n⎟⎜∂f→∂f→∂f→⎟222→→→→()x()x⋯()x⎜000⎟fx'()0=Dfx()0=⎜∂
