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《高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.5 夹角的计算学案 北师大版选修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.5夹角的计算2.5．1 直线间的夹角2.5．2 平面间的夹角2.5．3 直线与平面的夹角1．能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的计算问题．(重点)2．体会向量方法在研究立体几何问题中的作用．(难点)[基础·初探]教材整理1 直线间的夹角阅读教材P43“例1”以上的部分，完成下列问题．设直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2.已知向量a＝(－1，－1,0)，b＝(－1,0，－1)，则向量a与b的夹角是( )A. B．πC.D．【解析】 cos〈a，b〉＝＝＝，∴〈a，b〉＝.【答
2、案】 A教材整理2 平面间的夹角阅读教材P44“例2”以上的部分，完成下列问题．(1)平面间夹角的概念如图251，平面π1和π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R，我们把直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角．图251(2)平面间夹角的求法设平面π1与π2的法向量分别为n1与n2.当0≤〈n1，n2〉≤时，平面π1与π2的夹角等于〈n1，n2〉；当＜〈n1，n2〉≤π时，平面π1与π2的夹角等于π－〈n1，n
3、2〉．事实上，设平面π1与平面π2的夹角为θ，则cosθ＝
4、cos〈n1，n2〉
5、.已知平面α的法向量为n1＝(1,1,1)，平面β的法向量是n2＝.求平面α与平面β的夹角．【解】 cos〈n1，n2〉＝＝＝＝－，∴〈n1，n2〉＝120°，∴平面α与平面β的夹角为60°.教材整理3 直线与平面的夹角阅读教材P45“思考交流”以上的部分，完成下列问题．设直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，直线l与平面α的夹角为θ.若直线的方向向量为u1＝(1,1,1)，平面的法向量为u2＝(2,2,2)，则
6、直线与平面所成角的正弦值为________．【解析】 ∵u2＝2u1，∴u1∥u2，∴u1与平面垂直，所成角的正弦值为1.【答案】 1[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：__________________________
7、______________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________[小组合作型]直线间的夹角 如图252所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝
8、90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，∠PDA＝30°，AE⊥PD，E为垂足．图252(1)求证：BE⊥PD；(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值．【精彩点拨】 要证明两直线垂直，或求两直线的夹角，只要适当地建立空间直角坐标系，求出两直线对应的方向向量，然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得．【自主解答】 以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，a,0)，D(0,2a,0)．又∵∠P
9、DA＝30°，∴AP＝AD·tan30°＝2a·＝a，AE＝AD·sin30°＝2a·＝a.过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，AE＝a，∠EAF＝60°，∴AF＝，EF＝a.∴P，E.(1)证明：＝，＝，∴·＝0＋a2－a2＝0.∴⊥，∴BE⊥PD.(2)＝，＝(－a，a,0)．则cos〈，〉＝＝＝，即AE与CD的夹角的余弦值为.1．建立恰当的空间直角坐标系，准确求出相关点的坐标是解决这类题的关键．2．求线线夹角时，应注意线线夹角范围为，所以若求得余弦值为负数，则线线夹角为其补角．[再
10、练一题]1．已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1的中点，则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为( )【导学号：】A. B．C.D．【解析】 建系如图，设AA1＝2AB＝2.则B(1,1,0)，C(0,1,0)D1(0,0,2)，E(1,0,1)．∴＝(0,1,0)－(0,0,2)＝(0,1，－2)．＝(1,0,1)－(1,1,0)＝(0，－1,1)．cos〈，〉＝＝＝－∴异面直线D1C与BE所成角的余弦值为.【答案】 B平面间的夹角 如图25
