高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.5 夹角的计算（2）教案 北师大版选修.doc

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1、2.5夹角的计算（2）【教学目标】能用向量方法解决二面角的计算问题【知识梳理】1、平面的法向量的定义.2、二面角的定义及求解方法。方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角。方法二：先求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角。方法三：转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角的补角。【典型例题】A1xD1B1ADBCC1yzE例1.在正方体中,求二面角的大小。A1xD1B1ADBCC1yzEF例2.已知E,F分别是正方体的棱BC和CD的中点，求：（1）A1D与EF所成角的大小；（2）A1F与平面

2、B1EB所成角的大小；（3）二面角的大小。例3.如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.（1)证明：AP⊥BC；(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A－MC－B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．基础巩固1．平面α的一个法向量为n1＝(4,3,0)，平面β的一个法向量为n2＝(0，－3,4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为(　　)A．－　　B．C．D．以上都不对2．已知E，F分别是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱BC，CC1的中

3、点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是(　　)A．B．C．D．3．如图，四面体P—ABC中，PC⊥平面ABC，AB＝BC＝CA＝PC，那么二面角B—AP—C的余弦值为(　　)A．B．C．D．4．(2014·新课标Ⅰ理)如图三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．(1)证明：AC＝AB1；(2)若AC⊥AB1，∠CBB1＝60°，AB＝BC，求二面角A－A1B1－C1的余弦值．5．(2014·辽宁理)如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°、E，F分别为AC、DC的中点．

4、(1)求证：EF⊥BC；(2)求二面角E－BF－C的正弦值．6．(2015·天津理，17)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．(Ⅰ)求证：MN∥平面ABCD；(Ⅱ)求二面角D1－AC－B1的正弦值；(Ⅲ)设E为棱A1B1上的点．若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长．