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《2020_2021学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.5夹角的计算学案含解析北师大版选修2_1.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、5 夹角的计算授课提示：对应学生用书第24页一、直线间的夹角设直线l1与l2的方向向量分别为s1，s2，α为l1与l2的夹角．二、平面间的夹角1．定义：如图，平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则l1∩l2＝R，我们把直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角．2．与平面法向量的关系设平面π1和π2的法向量分别为n1、n2，θ为两个平面的夹角，θ＝三、直线与平面的夹角设直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，直线l与平面α的夹角为θ.[疑难提示] 异面直线夹角与向量夹角的差
2、异根据异面直线的定义得两条异面直线的夹角为锐角或直角，而向量夹角的范围为[0，π]．所以从范围上讲，这两个角并不一致，但却有着相等或互补的关系，所以它们的余弦值相等或互为相反数(向量夹角为0和π时除外)．[想一想]1．如何用向量求平面间的夹角？提示：设平面π1和π2的夹角为θ，其法向量分别为n1和n2，则cosθ＝
3、cos〈n1，n2〉
4、＝.2．如何用向量求直线与平面的夹角？提示：若直线l的方向向量为s，平面α的法向量为n，直线l与平面α的夹角为θ.则sinθ＝
5、cos〈s，n〉
6、＝.[练一练]3．已知直线l1的方向向量s1＝(1,0,1)与直线l2的方
7、向向量s2＝(－1,2，－2)，则l1和l2夹角的余弦值为( )A. B.C.D.解析：因为s1＝(1,0,1)，s2＝(－1,2，－2)，所以cos〈s1，s2〉＝＝＝－.又两直线夹角的取值范围为，所以l1和l2夹角的余弦值为.答案：C4．若平面α的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )A．cosθ＝B．cosθ＝C．sinθ＝D．sinθ＝解析：若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ＝β－90˚或θ＝90˚－β，故选D.答案：D5．若两个平面α，β
8、的法向量分别是n＝(1,0,1)，v＝(－1，1,0)，则这两个平面所成的锐二面角的度数是________．解析：∵cos〈n，v〉＝＝＝－，∴〈n，v〉＝120°.故两平面所成的锐二面角为60°.答案：60°授课提示：对应学生用书第25页探究一 求异面直线所成的角[典例1] 如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，平面ABCD与平面D1C1CD垂直，且∠D1DC＝，DC＝DD1＝2，DA＝，∠ADC＝，求异面直线A1C与AD1所成角的余弦值．[解析] 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，0,0)，D1(0,1，)，C(0,2,0)，D(0,
9、0,0)由＝得A1(，1，)．∴＝(－，1，－)，＝(，－1，－)，∴cos〈，〉＝＝＝－.∴异面直线A1C与AD1所成角的余弦值为.1．求两异面直线的夹角时，可用向量法转化为求两异面直线的方向向量a，b的夹角〈a，b〉．但两异面直线的夹角范围是，所以当〈a，b〉∈时，两异面直线的夹角应为π－〈a，b〉．2．合理建立空间直角坐标系，可使两异面直线的夹角问题转化为向量的坐标运算，也可选用基向量法进行求解． 1．如图所示，在三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝
10、60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与O1A夹角的余弦值．解析：以O为坐标原点，OA，OB所在直线分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系Oxyz，则O(0,0,0)，O1(0,1，)，A(，0,0)，A1(，1，)，B(0,2,0)，∴＝(－，1，－)，＝(，－1，－)．∴
11、cos〈，〉
12、＝＝＝.∴异面直线A1B与O1A夹角的余弦值为.2.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，∠PDA＝30°，AE⊥PD，E为垂足．(1)求
13、证：BE⊥PD；(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值．解析：以A为原点，AB，AD，AP所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，a,0)，D(0,2a,0)．又∵∠PDA＝30°，∴AP＝AD·tan30°＝2a·＝a，AE＝AD·sin30°＝2a·＝a.过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，AE＝a，∠EAF＝60°，∴AF＝，EF＝a.∴P，E.(1)证明：＝，＝，∴·＝0＋a2－a2＝0.∴⊥，∴BE⊥PD.(2)＝，＝(－a，a,0)．则cos〈，〉＝＝＝，即AE与CD的夹角的余弦值
14、为.探究二 求二面角[典例2] 如图，在空间直角坐标系中有直四棱柱ABCDA1B
