2020_2021学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.2空间向量的运算学案含解析北师大版选修2_1.doc

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1、2　空间向量的运算授课提示：对应学生用书第14页一、空间向量的运算空间向量的运算定义(或法则)运算律空间向量的加减法加法设a和b是空间两个向量，过一点O作a和b的相等向量和，以OA、OB为边作平行四边形，则对角线OC对应的向量就是a与b的和，记作a＋b，如图．①结合律：(a＋b)＋c＝b＋a；②交换律：a＋b＝a＋(－b)空间向减法a－b＝a＋(b＋c)，其中－b是b的相反向量量的数乘λa是一个向量，大小：

2、λa

3、＝

4、λ

5、

6、a

7、，方向：当λ>0时，λa与a方向相同；当λ<0时，λa与a方向相反；当λ

8、＝0时，λa＝0①λa＝aλ(λ∈R)；②λ(a＋b)＝λa＋λb，(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ∈R，μ∈R)；③(λμ)a＝λ(μa)(λ∈R，μ∈R)空间向空间两个向量a和b的数量积是一个数①交换律：a·b＝b·a；量的数量积，等于

9、a

10、

11、b

12、cos〈a，b〉，记作a·b②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c；③λ(a·b)＝(λa)·b(λ∈R)与数量积有关的结论①

13、a

14、＝；②a⊥b⇔a·b＝0；③cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)二、共线向量基本定理空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要

15、条件是存在实数λ，使得a＝λB.三、单位向量对于任意一个非零向量a，把叫作向量a的单位向量，记作a0.a0与a同方向．[想一想]1．(a·b)·c与c有什么关系？(a·b)·c＝a·(b·c)成立吗？提示：由数量积的定义知a·b＝

16、a

17、

18、b

19、cos〈a，b〉是一个数，从而(a·b)·c与c共线，又a·(b·c)＝(b·c)·a是与a共线的一个向量，所以(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．2．a＝λb是向量a与b共线的充要条件吗？提示：不是．由a＝λb可得出a，b共线．而由a，b共线不一定能得到

20、a＝λb，如当b＝0，a≠0时．[练一练]3．已知向量a0，b0是分别与a，b同方向的单位向量，那么下列式子正确的是(　　)A．a0＝b0B．a0＝1C．a0，b0共线D．

21、a0

22、＝

23、b0

24、解析：向量a，b不一定是共线向量，因此，当a，b不共线时，a0，b0也不共线，此时a0，b0不相等，故A，C错误；向量与数量不能比较，故B错；单位向量的模都是1，因此

25、a0

26、＝

27、b0

28、.故选D.答案：D4．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于(　　)A．a＋b－cB．c－a－bC．c＋a－bD．c＋

29、a＋b解析：＝＋＋＝－－＋＝－a－b＋c＝c－a－B.答案：B5．若a，b均为非零向量，则a·b＝

30、a

31、

32、b

33、是a，b共线的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：由a·b＝

34、a

35、

36、b

37、cosθ＝

38、a

39、

40、b

41、可知cosθ＝1，由此可得a与b共线；反过来，若a，b共线，则cosθ＝±1，a·b＝±

42、a

43、

44、b

45、.故a·b＝

46、a

47、

48、b

49、是a，b共线的充分不必要条件．答案：A6．如图，在平行六面体ABCDEFGH中，若＝x－2y＋3z，则x＋y＋z等于____

50、______．解析：易知＝＋＋＝＋＋，则x＝1，y＝－，z＝，故x＋y＋z＝.答案：授课提示：对应学生用书第15页探究一　空间向量的线性运算[典例1]　如图所示，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为△ABC的重心，试用a、b、c表示向量和.[解析]　已知D为BC的中点，E为△ABC的重心，则点E在直线AD上，且满足AE∶ED＝2∶1，所以＝，(1)由平行四边形法则易得：＝(＋)＝(b＋c)．(2)＝＋＝＋＝＋(－)＝＋×(＋)＝(＋＋)＝(a＋b＋c)．在进行向量的加减法运算时

51、要牢记加减法的运算法则，最终的表达方式是唯一的，但在具体的解题过程中，注意封口多边形法则的应用，只要形成封闭图形即可，在解题过程中注意灵活选择．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．已知空间四边形ABCD，如图，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式：(1)＋＋；(2)＋(＋)；(3)－(＋)．解析：(1)＋＋＝＋＝.(2)＋(＋)＝＋＋＝＋＋＝.(3)－(＋)＝－＝.2．如图所示，在六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1中．(1)化简

52、－－＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量；(2)化简＋＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量．解析：(1)－－＋＋＋＝＋＋＋＋＋＝＋＋0＋＝.在图中所示如下：(2)＋＋＋＋＝＋＋＋＋＝＋＋＝0＝.在图中所示如下：探究二　向量共线问题[典例2]　如图所示，四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线？[解析]　M，N分别是AC，BF的中点，而四边形ABCD，ABEF都是平行四边形．所以＝＋＋＝＋＋.又因为＝＋＋＋＝－＋－－，所