高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.2 空间向量的运算学案 北师大版选修.doc

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1、2.2空间向量的运算1．会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律．(重点)2．会利用两个空间向量共线的充要条件解决有关问题．(难点)3．能够利用空间向量的数量积的定义求两个向量的数量积．(重点)[基础·初探]教材整理1　空间向量的运算阅读教材P29～P30的部分，完成下列问题．空间向量的运算定义(或法则)运算律空间向量的加减法加法设a和b是空间两个向量，过一点O作a和b的相等向量和，根据平面向量加法的平行四边形法则，平行四边形的对角线OC对应的向量就是a与b的和，记作a＋b，如图所示①结合律：(a＋b)

2、＋c＝a＋(b＋c)；②交换律：a＋b＝b＋a减法与平面向量类似，a与b的差定义为a＋(－b)，记作a－b，其中－b是b的相反向量空间向量的数乘空间向量a与一个实数λ的乘积是一个向量，记作λa，满足：①

3、λa

4、＝

5、λ

6、

7、a

8、②当λ＞0时，λa与a方向相同；①λa＝aλ(λ∈R)②λ(a＋b)＝λa＋λb(λ＋μ)a＝λa＋μa(λ∈R，μ∈R)当λ＜0时，λa与a方向相反；当λ＝0时，λa＝0③(λμ)a＝λ(μa)(λ∈R，μ∈R)．空间向量的数量积空间两个向量a和b的数量积是一个数，等于

9、a

10、

11、b

12、cos〈a，b

13、〉，记作a·b①交换律：a·b＝b·a②分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c③λ(a·b)＝(λa)·b(λ∈R)与数量积有关的结论①

14、a

15、＝②a⊥b⇔a·b＝0③cos〈a，b〉＝(a≠0，b≠0)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数与向量之间可进行加法、减法运算．(　　)(2)＋＝0.(　　)【解析】　(1)实数与向量之间不能进行加、减法运算．(2)＋＝0，注意0与0的区别．【答案】　(1)×　(2)×2．如图221所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，＋－＝(　　)图221A.　　　　

16、B．C.D．【解析】　＋－＝＋＋＝＋＝＝.【答案】　B3．在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，则＋＋为________．【解析】　＋＋＝＋＝.【答案】　4．若空间向量a，b满足

17、a

18、＝

19、b

20、＝1，a与b的夹角为60°，求a·a＋a·b＝_____.【解】　由空间向量数量积的性质a·a＝

21、a

22、2＝1，由空间向量数量积的定义得a·b＝

23、a

24、

25、b

26、cos〈a，b〉＝1×1×cos60°＝，从而a·a＋a·b＝1＋＝.教材整理2　共线向量定理阅读教材P29“定理”的部分，完成下列问题．空间两个向量a与b(b≠0)共线的充

27、要条件是存在实数λ，使得a＝λb.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)若向量a，b共线，则一定存在实数λ，使得a＝λb.(　　)【解析】　当a≠0，b＝0，实数λ不存在．【答案】　×教材整理3　单位向量阅读教材P31“例2”以上的部分，完成下列问题．对于任意一个非零向量a，我们把叫作向量a的单位向量，记作a0，a0与a同方向．[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解

28、惑：________________________________________________________疑问2：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：_____________________

29、___________________________________[小组合作型]空间的线性运算　(1)已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于(　　)A．a＋b－c　　　　　B．－a－b＋cC．－a＋b＋cD．－a＋b－c【自主解答】　＝＋＋＝－＋＋＝－a＋b＋c【答案】　C(2)化简(－)－(－)＝________.【自主解答】　法一：(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝(＋)＋(＋)＝＋＝0.法二：(－)－(－)＝－－＋＝(－)＋(－)＝＋＝0.【答案】　0(3)如图222所示，在正方体ABCDA1B1

30、C1D1中，下列各式中运算的结果为的共有(　　)图222①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋.A．1个B．2个C．3个D．4个【自主解答】　①(＋)＋＝＋CC1＝；②(＋)＋＝＋＝；③(＋)＋＝＋＝；④(＋)＋＝＋＝.【答案】　D1．在运算时，要注意运算律的应用，在例题中，利用向量加法的结合律以及数乘向量的分配律简化了计算．2．对向量