2020_2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算课时跟踪训练含解析新人教A版选修2_1.doc

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1、空间向量的数量积运算[A组　学业达标]1．正方体ABCDA′B′C′D′中，向量与的夹角是(　　)A．30°　　　　　　　B．45°C．60°D．90°解析：BC′∥AD′，△AD′B′为正三角形，∴∠D′AB′＝60°，∴〈，〉＝60°.答案：C2．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为135°的是(　　)A.与　　　　　　　　B.与C.与D.与解析：〈，〉＝〈，〉＝45°；〈，〉＝180°－〈，〉＝135°；〈，〉＝〈，〉＝90°；〈，〉＝180°.答案：B3.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M为A1C1的中点，若＝a，＝c，

2、＝b，则下列向量与相等的是(　　)A．－a＋b＋cB.a＋b＋cC．－a－b＋cD.a－b＋c解析：＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)＝(－a＋b)＋c＝－a＋b＋c.答案：A4．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是(　　)A．60°B．120°C．30°D．90°解析：a·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝e－e1·e2－2e＝1－1×1×－2＝－，

3、a

4、＝＝＝＝＝，

5、b

6、＝＝＝＝＝.∴cos〈a，b〉＝＝＝－.∴〈a，b〉＝120°.答案：B5．在正方体ABCDA1B1C1D1中，有下列命题

7、：①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③与的夹角为60°；④正方体的体积为

8、··

9、.其中正确命题的个数是(　　)A．1B．2C．3D．4解析：如图所示，(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32；·(－)＝·＝0；与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°；正方体的体积为

10、

11、

12、

13、

14、

15、.综上可知，①②正确．答案：B6．已知

16、a

17、＝13，

18、b

19、＝19，

20、a＋b

21、＝24，则

22、a－b

23、＝________.解析：

24、a＋b

25、2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝46，

26、a－b

27、2＝a2－2a·b＋b2＝5

28、30－46＝484，故

29、a－b

30、＝22.答案：227．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a，b所成的角是________．解析：＝＋＋，∴·＝·(＋＋)＝

31、

32、2＝1，∴cos〈，〉＝＝，∴异面直线a，b所成角是60°.答案：60°8．如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，则·＝________.解析：·＝·＝

33、

34、·

35、

36、·〈，〉＝a×a×cos60°＝a2.答案：a29.如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BC

37、D＝60°.求证：CC1⊥BD.证明：设＝a，＝b，＝c，则

38、a

39、＝

40、b

41、.∵＝－＝b－a，∴·＝(b－a)·c＝b·c－a·c＝

42、b

43、

44、c

45、cos60°－

46、a

47、

48、c

49、cos60°＝0，∴⊥，即CC1⊥BD.10.已知正四面体OABC的棱长为1.求：(1)·；(2)(＋)·(＋)；(3)

50、＋＋

51、.解析：(1)·＝

52、

53、·

54、

55、·cos∠AOB＝1×1×cos60°＝.(2)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2)＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×1×1×cos60°＝1.(3

56、)

57、＋＋

58、＝＝＝.[B组　能力提升]11．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉＝(　　)A.B.C．－D．0解析：·＝·(－)＝·－·＝

59、

60、

61、

62、·cos〈，〉－

63、

64、

65、

66、·cos〈，〉，因为〈，〉＝〈，〉＝，

67、

68、＝

69、

70、，所以·＝0，所以⊥，所以cos〈，〉＝0.答案：D12．已知在正四面体ABCD中，所有棱长都为1，△ABC的重心为G，则DG的长为(　　)A.B.C.D.解析：如图，连接AG并延长交BC于点M，连接DM，∵G是△ABC的重心，∴＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(＋＋)，而(＋＋)2＝＋＋＋2·

71、＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6，∴

72、

73、＝.答案：D13.如图所示，已知正三棱锥ABCD的侧棱长和底面边长都是a，点E，F分别是AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶2，则·＝________.解析：因为点E，F分别是AB，AD上的点，所以＝，所以·＝·，结合图形可知〈，〉＝60°，所以·＝·＝×a×a×cos60°＝a2.答案：a214.如图，正四棱锥PABCD的各棱长都为a.(1)用向量法证明BD⊥PC；(2)求

74、＋

75、的值．解析：(1)证明：∵＝＋，∴·＝(＋)·＝·＋·＝

76、

77、

78、

79、

80、·cos60°＋

81、

82、

83、

84、cos120°＝a2－a2＝0，∴⊥，∴BD⊥PC.(2)∵＋＝＋＋，∴

85、＋

86、2＝

87、

88、2＋

89、

90、2＋

91、

92、2＋2·＋2·＋2·＝a2＋a2＋a2＋0＋2a2cos60°＋2