资源描述:
《高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算课后课时精练.docx》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、3.1.3空间向量的数量积运算A级:基础巩固练一、选择题1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题:①(++)2=32;②·(-)=0;③1与的夹角为60°.其中正确命题的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.0个答案 B解析 如图所示,(++)2=(++)2=2=32;·(-)=·=0;与的夹角是与夹角的补角,而与的夹角为60°,故与的夹角为120°.综上可知,①②正确,③不正确.故选B.2.正方体ABCD-A′B′C′D′中,〈,〉=( )A.30°B.60°C.90°D.120
2、°答案 D解析 连接BD,A′D,因为B′D′∥BD,△A′BD为正三角形,所以∠A′BD=60°,由向量夹角的定义可知〈,〉=120°,即〈,〉=120°.3.若O是△ABC所在平面内一点,且满足(+)·(-)=0,则△ABC一定是( )A.等边三角形B.斜三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形答案 C解析 ∵+=,-=,∴·=0.∴BC⊥AC.∴△ABC一定是直角三角形.4.如图,空间四边形的各边和对角线长均相等,E是BC的中点,那么( )A.·<·B.·=·C.·>·D.·与·不能比较大小
3、答案 C解析 易知AE⊥BC,∴·=0,·=(+)·=·(-)+·=
4、
5、·
6、
7、cos120°-
8、
9、
10、
11、cos120°+
12、
13、
14、
15、·cos120°<0.∴·>·.5.已知a,b是异面直线,A,B∈a,C,D∈b,AC⊥b,BD⊥b,且AB=2,CD=1,则a与b所成的角是( )A.30°B.45°C.60°D.90°答案 C解析 =++,∴·=(++)·=·+2+·=0+12+0=1,又
16、
17、=2,
18、
19、=1.∴cos〈,〉===.∵异面直线所成的角是锐角或直角,∴a与b所成的角是60°.6.正三棱柱AB
20、C-A1B1C1的各棱长都为2,E,F分别是AB,A1C1的中点,则EF的长是( )A.2B.C.D.答案 C解析 如图所示,设=a,=b,=c.由题意知
21、a
22、=
23、b
24、=
25、c
26、=2,且〈a,b〉=60°,〈a,c〉=〈b,c〉=90°.因为=++=-++=-a+b+c,所以
27、
28、2=a2+b2+c2+2=×22+×22+22+2××2×2cos60°=1+1+4-1=5,所以
29、EF
30、=.二、填空题7.已知空间向量a,b,
31、a
32、=3,
33、b
34、=5,m=a+b,n=a+λb,〈a,b〉=135°,若m⊥n
35、,则λ的值为________.答案 -解析 由m⊥n,得(a+b)·(a+λb)=0,∴a2+λb2+(1+λ)a·b=0,即18+25λ+(1+λ)×3×5×cos135°=0,∴λ=-.8.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,
36、a
37、=3,
38、b
39、=1,
40、c
41、=4,则a·b+b·c+c·a的值为________.答案 -13解析 ∵a+b+c=0,∴(a+b+c)2=0,∴a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=0,∴a·b+b·c+c·a=-=-13.9.设a,b,c是任意的非零向量
42、,且互不共线,则下列四个命题:①(a·b)c-(c·a)b=0;②
43、a
44、-
45、b
46、<
47、a-b
48、;③(c·b)a-(c·a)b不与c垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9
49、a
50、2-4
51、b
52、2.其中真命题的序号是________.答案 ②④解析 ①由向量数乘与数量积的区别,易知不成立;②是三角形不等式,所以成立;③[(c·b)a-(c·a)b]·c=(c·b)(a·c)-(c·a)(b·c)=0,故垂直,所以③不成立;④由向量的数量积运算可知成立.三、解答题10.如图所示,在平面角为120°的二面角α
53、-AB-β中,AC⊂α,BD⊂β,且AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为A,B.已知AC=AB=BD=6,求线段CD的长.解 ∵AC⊥AB,BD⊥AB,∴·=0,·=0.∵二面角α-AB-β的平面角为120°,∴〈,〉=180°-120°=60°.∴
54、
55、2=2=(++)2=2+2+2+2·+2·+2·=3×62+2×62×cos60°=144,∴CD=12.B级:能力提升练 如图,已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD.(1)求证:CC1⊥BD
56、;(2)当的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD?请给出证明.解 (1)证明:设=a,=b,=c.由题意得
57、a
58、=
59、b
60、,=-=a-b.,,两两夹角的大小相等,设为θ,于是·=c·(a-b)=c·a-c·b=
61、c
62、·
63、a
64、cosθ-
65、c
66、·
67、b
68、cosθ=0,∴CC1⊥BD.(2)要使A1C⊥平面C1BD,只需A1C⊥BD,A1C⊥DC1.由·=(+)·(-)=(a+b+c)·(a-c)=a2-a·c+a·b-b·c+c·a-c2=
69、a
70、2-
71、c
72、2+
73、b
74、
75、a
76、co