《3.1 空间向量及其运算-3.1.5 空间向量的数量积》导学案

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1、《3.1.5空间向量的数量积》导学案2教学过程一、问题情境1.平面向量数量积的坐标表示及一些应用(1)对于平面内两个非零向量a=(x1，y1)，b=(x2，y2)，则a·b=x1x2+y1y2.(2)长度、夹角、垂直的坐标表示垂直的充要条件:a⊥b⇔a·b=0，即x1x2+y1y2=0.(注意与向量共线的坐标表示的区别)[2]2.类比平面向量数量积的坐标表示，思考对于空间两个非零向量，它们的数量积的坐标表示又是怎样的呢？二、数学建构对于单位正交基底{i，j，k}，有i·i=j·j=k·k=1，i·j=i·k=j·k=0.设空间两个非零向量a=(x1，y

2、1，z1)，b=(x2，y2，z2)，请同学们根据向量数量积的运算律推导a·b的坐标表示.解　若{i，j，k}是空间的一个单位正交基底，则a=(x1，y1，z1)=x1i+y1j+z1k，b=(x2，y2，z2)=x2i+y2j+z2k，所以a·b=(x1i+y1j+z1k)·(x2i+y2j+z2k)=x1x2i2+y1y2j2+z1z2k2+x1y2i·j+x1z2i·k+y1x2j·i+y1z2j·k+z1x2k·i+z1y2k·j=x1x2+y1y2+z1z2.从而得两个空间向量数量积的坐标表示公式:a·b=x1x2+y1y2+z1z2.即两个

3、向量数量积等于它们对应坐标的乘积的和.三、数学运用※学习探究探究任务一：空间向量的数量积定义和性质问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？新知：1)两个向量的夹角的定义：已知两非零向量，在空间一点，作，则叫做向量与的夹角，记作.试试：⑴范围:=0时,;=π时,⑵成立吗？⑶，则称与互相垂直，记作.2)向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即.规定:零向量与任意向量的数量积等于零.反思：⑴两个向量的数量积是数量还是向量？⑵（选0还是）⑶你能说出的几何意义吗？3)空间向量数量积的性质

4、：（1）设单位向量，则．（2）．（3）＝.4)空间向量数量积运算律：（1）．（2）（交换律）．（3）（分配律反思：⑴吗？举例说明.⑵若，则吗？举例说明.⑶若，则吗？为什么？※典型例题例1用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.变式1：用向量方法证明：已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面的交点为，且.求证：．例2如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值变式：如图，在正三棱柱ABC-ABC中，若AB=BB,则AB与CB所成的角为（）A.60°B.90°C.105°D.75°例3如图，在

5、平行四边形ABCD-ABCD中，,,,==60°,求的长.※动手试试练1.已知向量满足，，，则____.练2.,则的夹角大小为_____.三、总结提升※学习小结1..向量的数量积的定义和几何意义.2.向量的数量积的性质和运算律的运用.※知识拓展向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C.一般D.较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.下列命题中：①若，则，中至少一个为②若且，则③④正确有个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个2.已知和是

6、两个单位向量，夹角为，则下面向量中与垂直的是（）A.B.C.D.3.已知中，所对的边为，且,,则=4.已知，，且和不共线，当与的夹角是锐角时，的取值范围是.5.已知向量满足，，，则____课后作业：1.已知空间四边形中，，，求证：.2.已知线段AB、BD在平面内,BD⊥AB,线段,如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D间的距离.