《3.1.3 空间向量的数量积运算》导学案4

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1、《3.1.3空间向量的数量积运算（1）》导学案4【学习目标】1.掌握空间向量夹角概念；2.掌握空间向量的数量积运算及其运算律；3.利用空间向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题。【探索新知】1.两个向量的夹角的定义：已知两非零向量，在空间一点，作，则叫做向量与的夹角，记作.注意：①成立吗？②范围:；=0时,；=π时,③，则称与互相垂直，记作.2.向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即.规定:①零向量与任意向量的数量积等于零.②3.空间向量数量积运算律：（1）（2）（交换律）（3）（分配律）【基础自测】1.已知中，所对的边为，且,,则=2.已知，则3.已知，则与

2、的夹角为______．4.已知和是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与垂直的是（）A.B.C.D.【合作学习】例1．如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算：(1)；(2)；(3)．例2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求向量与的夹角的大小．例3．在三角形ABC中，且,记则(1)，，.(2)，.(3)若线段BC的中点为D，求，.[来源:学科网ZXXK]【检测反馈】1．下列命题中正确有个数为（）①若，则，中至少一个为；②若且，则；③；④；A.0个B.1个C.2个D.3个2．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，

3、AB＝1，AD＝2，AA1＝3．则()A．1B．3C．0D．－33．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　)A．B．C．－D．04．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点．计算：(1)=________________；(2)=________________；(3)=________________．5．如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．《3.1.3空间向量的

4、数量积运算（2）》导学案4【合作学习】例3．如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，∠A1AB＝∠A1AD＝120°．(1)求AC1的长；(2)证明：AC1⊥BD；(3)求直线BD1与AC所成角的余弦值．变式训练：1．如图，已知ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，并且PA＝6，则PC的长为__________．2．如图，空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC．求证：OA⊥BC．【检测反馈】1．若，且，则与的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°2．已知，则()A

5、．22B．48C．D．323．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足，则△BCD是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定4．已知空间四边形ABCD，则______.5．已知直线a、b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则直线a与b所成的角是______．6．已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角是60°，则对角线AC1的长是______．7．下列命题中：(1)则＝0或＝0；(2)；(4)若与均不为，则它们必垂直．其中真命题的序号是______．8．如图，在空间

6、四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC夹角的余弦值．9．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心．求证：B1O⊥平面PAC．3．1．3空间向量的数量积1．C2．A3．D4．B5．6．07．60°8．9．(4)10．解：∵∴＝．∴OA与BC夹角的余弦值．11．解：(1)∵；(2)；(3)；(4）．12．解：(1)＝＋2a·bcos120°＝(2)＝，，即AC1BD．(3)＝＝，∴．∵＝0－a2＋abcos120°＋a2＋abcos120°＝－ab，又∵异面直线所成角

7、的范围为(0，90°]，∴直线BD1与AC所成角的余弦值为．