3.1.3空间向量的数量积导学案

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1、§3.1.3．空间向量的数量积（1）学习目标1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2.掌握两个向量的数量积的计算方法，并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的一些简单问题．学习过程一、课前准备（预习教材P90~P92，找出疑惑之处）复习1：什么是平面向量与的数量积？复习2：在边长为1的正三角形⊿ABC中，求二、新课导学※学习探究探究任务一：空间向量的数量积定义和性质问题：在几何中，夹角与长度是两个最基本的几何量，能否用向量的知识解决空间两条直线的夹角和空间线段的长度问题？新知：1)两个向量的夹角的定义：已知两非零向量，在空间一点，

2、作，则叫做向量与的夹角，记作.试试：⑴范围:=0时,;=π时,⑵成立吗？⑶，则称与互相垂直，记作.2)向量的数量积：已知向量，则叫做的数量积，记作，即.规定:零向量与任意向量的数量积等于零.反思：⑴两个向量的数量积是数量还是向量？⑵（选0还是）⑶你能说出的几何意义吗？3)空间向量数量积的性质：（1）设单位向量，则．（2）．（3）＝.4)空间向量数量积运算律：（1）．（2）（交换律）．（3）（分配律反思：⑴吗？举例说明.⑵若，则吗？举例说明.⑶若，则吗？为什么？※典型例题例1用向量方法证明：在平面上的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的

3、射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.变式1：用向量方法证明：已知：是平面内的两条相交直线，直线与平面的交点为，且.求证：．例2如图，在空间四边形中，，，，，，，求与的夹角的余弦值变式：如图，在正三棱柱ABC-ABC中，若AB=BB,则AB与CB所成的角为（）A.60°B.90°C.105°D.75°例3如图，在平行四边形ABCD-ABCD中，,,,==60°,求的长.※动手试试练1.已知向量满足，，，则____.练2.,则的夹角大小为_____.※知识拓展向量给出了一种解决立体几何中证明垂直问题，求两条直线的夹角和线段长度的新方法.※当

4、堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1.下列命题中：①若，则，中至少一个为②若且，则③④1.正确有个数为（）A.0个B.1个C.2个D.3个2.已知和是两个单位向量，夹角为，则下面向量中与垂直的是（）A.B.C.D.3.已知中，所对的边为，且,,则=4.已知，，且和不共线，当与的夹角是锐角时，的取值范围是.5.已知向量满足，，，则____课后作业：1.已知空间四边形中，，，求证：.2.已知线段AB、BD在平面内,BD⊥AB,线段,如果AB＝a,BD＝b,AC＝c,求C、D间的距离.