3.1.3空间向量的数量积运算

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1、人教A版2003课标版高中数学选修2-1第三章3.1.3空间向量数量积运算学案授课人:通江县至诚职业中学周彬1．空间向量的数量积运算(1)空间向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则________________叫做a，b的数量积，记作a·b，通常规定，0≤〈a，b〉≤π.对于两个非零向量a，b，a⊥b⇔____________．(2)空间零向量与任何向量的数量积为______．(3)a·a＝cos〈a，a〉＝______．(4)空间向量的数量积满足如下的运算律：①·b＝__________；②a·b＝______

2、____(交换律)；③a·＝________________(分配律)．　利用数量积求长度问题练习1　正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，求EF的长．答案：

3、

4、2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)＝12＋22＋12＋2(1×2×cos120°＋0＋2×1×cos120°)＝2，所以

5、

6、＝，所以EF的长为.【点拨】要求一个向量的模，就需要把向量分解成几个已知向量的和，利用向量的平方等于向量的模的平方可求出模的平方，进一步求出模．这里要注意向量和向量的夹角对数量积的影响．练习2　如图所示，已知

7、在一个60°的二面角的棱上，有两个点A，B，AC，BD分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB＝4cm，AC＝6cm，BD＝8cm，求CD的长．答案：因为＝＋＋＝－＋，所以2＝(－＋)2＝(－)2＋2＋2(－)·＝2＋2－2·＋2＋2·－2·＝16＋36＋64－2×6×8×cos60°＝68.所以＝2cm.　异面直线所成角问题练习3　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：(1)·；(2)EG的长；(3)异面直线AG与CE所成角的余弦值．

8、答案：设＝a，＝b，＝c.则

9、a

10、＝

11、b

12、＝

13、c

14、＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，(1)＝＝c－a，＝－a，·＝·(－a)＝a2－a·c＝，(2)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b＝－a＋b＋c，

15、

16、2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则

17、

18、＝.(3)＝b＋c，＝＋＝－b＋a，cos〈，〉＝＝－，由于异面直线所成角的范围是，所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.【点拨】要求异面直线AG与CE所成角的余弦值，可利用向量的数量积，求出·及

19、

20、和

21、

22、的值，再套用公式cos〈，〉＝求得与所成角的余弦值

23、，但上述结果并不一定是异面直线所成的角，由于异面直线所成角的取值范围为，所以，若求得的余弦值为负值，则取其绝对值．练习4　正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，E为CC1的中点，求异面直线AB1，BE所成角的余弦值．答案：·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝0＋0＋0＋＝.依题意易知

24、

25、＝，

26、

27、＝，所以cos〈，〉＝＝.