数学：3.1.3《空间向量的数量积运算》

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1、3.1.3空间向量的数量积运算lAPBOABP特别地，若P为A,B中点,则如图不共线，结论：设O为平面上任一点，则A、P、B三点共线或：令x=1-t，y=t，则A、P、B三点共线平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使二.共面向量:1.共面向量:能平移到同一平面内的向量,叫做共面向量.OA注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。结论:空间一点P位于平面ABC内存在有序实数对x,y使或对空间任一点O,有可证明或判断四点共面⒈掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；⒉掌握两个向量数量积的概念、性

2、质和计算方法及运算律；⒊掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题．一、证垂直二、求长度三、求夹角四、求投影教学过程一、几个概念1）两个向量的夹角的定义OAB2）两个向量的数量积注意：①两个向量的数量积是数量，而不是向量.②零向量与任意向量的数量积等于零。4)空间向量的数量积性质注意：①性质2）是证明两向量垂直的依据；②性质3）是求向量的长度（模）的依据；对于非零向量　　，有：3)空间向量的投影5)空间向量的数量积满足的运算律注意：（教材P90思考）数量积不满足消去率和结合律ADFCBE二、课堂练习三、典型例题-------证垂直（教材P91例3）已知m,

3、n是平面内的两条相交直线，直线l与的交点为B，且l⊥m，l⊥n，求证：l⊥分析：由定义可知，只需证l与平面内任意直线g垂直。nmggmnllnmggmnll证明：在内作不与m、n重合的任一条直线g,在l、m、n、g上取非零向量l、m、n、g，因m与n相交，得向量m、n不平行，由共面向量定理可知，存在唯一的有序实数对（x，y），使g=xm+yn,l·g=xl·m+yl·n∵l·m=0,l·n=0∴l·g=0∴l⊥g∴l⊥g这就证明了直线l垂直于平面内的任一条直线，所以l⊥aAOP三、典型例题（教材P91例2）利用向量知识证明三垂线定理试着证明三垂线定理的逆定理教

4、材P91三、典型例题教材P92思考：用向量的数量积运算推证垂直关系的过程，步骤是什么？例2：已知：在空间四边形OABC中，OA⊥BC，OB⊥AC，求证：OC⊥ABABCO例3如图，已知线段　　在平面　内，线段，线段　　　　，线段　　　　，　　　　　，如果　　　　　　　　　　　，求　、　之间的距离。解：由　　　，可知.由　　　　知.三、典型例题----求长度例4已知在平行六面体　　　　　　　中，,,求对角线　　的长。解：3.已知线段　、　在平面　内，　　　，线段，如果　　　　　　　　　　，求　、　之间的距离.解：∵教材P92练习1、2、3题三、典型例题---求夹角《点金》P64

5、知识点3例31.已知空间四边形　　　的每条边和对角线的长都等于，点　　　分别是边　　　　的中点。求证：　　　　　　　　。证明：因为所以同理，课后练习2.已知空间四边形　　　　　　　　　　　　　　　，求证：　　　。证明：∵3.如图，已知正方体　　　　　　　，　和　相交于点　，连结　，求证：　　　。4、已知空间四边形　　　的每条边和对角线的长都等于,点　　　　分别是　　　　　　的中点，求下列向量的数量积：5、设，，则向量与的夹角为6、在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=900,将它沿对角线AC折起，使AB与CD成600角，求B,D两点间距离。课堂小结1．两个向量的数量

6、积的概念、性质和计算；2、运用向量的数量积解决简单的立体几何问题。