3.1.3空间向量的数量积运算

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1、3．1.3　空间向量的数量积运算2008年5月12日，四川汶川发生特大地震．为了帮助地震灾区重建家园，某施工队需要移动一个大型的均匀的正三角形面的钢筋混凝土构件．已知它的质量为5000kg，在它的顶点处分别受大小相同的力F1，F2，F3并且每两个力之间的夹角都是60°(其中g＝10N/kg)．问题1：向量F1和－F2夹角为多少？提示：120°.问题2：每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构件？提示：每个力大小为

2、F0

3、，合力为

4、F

5、，∴

6、F

7、2＝(F1＋F2＋F3)·(F1＋F2＋F3)＝(F1＋F2＋F3)2＝6

8、F0

9、2，∴

10、F

11、＝

12、F0

13、，∴

14、F

15、0

16、＝×10＝×10＝(N)．1．空间向量的夹角2．空间向量的数量积定义已知两个非零向量a，b，则

17、a

18、·

19、b

20、·cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b运算数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)律交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c两个向量数量积的性质(1)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0(2)若a与b同向，则a·b＝

21、a

22、·

23、b

24、若反向，则a·b＝－

25、a

26、·

27、b

28、特别地：a·a＝

29、a

30、2或

31、a

32、＝(3)若θ为a，b的夹角，则cosθ＝(4)

33、a·b

34、≤

35、a

36、·

37、b

38、应用(1)可以求向量的模或夹角，进而

39、求两点间的距离或两直线所成角(2)可证明两非零向量垂直，进而证明两直线垂直1．两个非零向量才有夹角，当两个非零向量同向共线时，夹角为0，反向共线时，夹角为π.2．两个向量的数量积是数量，它可正、可负、可为零．3．数量积a·b的几何意义是：a·b等于a的长度

40、a

41、与b在a的方向上的投影

42、b

43、cosθ的乘积．数量积的运算　　[例1]　如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：(1)·；(2)·；(3)(＋)·(＋)．[思路点拨]　根据数量积的定义进行计算，求出每组向量中每个向量的模以及它们的夹角，注意充分结

44、合正四面体的特征．[精解详析]　(1)正四面体的棱长为1，则

45、

46、＝

47、

48、＝1.△OAB为等边三角形，∠AOB＝60°，于是：·＝

49、

50、

51、

52、cos〈，〉＝

53、

54、

55、

56、cos∠AOB＝1×1×cos60°＝.(2)因为E，F分别是OA，OC的中点，所以EF綊AC，于是E·＝

57、

58、

59、

60、cos〈，〉＝

61、

62、·

63、

64、cos〈，〉＝×1×1×cos〈，〉＝×1×1×cos60°＝.(3)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2)＝2＋·－2·＋·＋2－2·＝1＋－2×＋＋1－2×＝1.[一点通]　在几何体中进行向量的数量积运算，要充分利用几何体的性质，把待求向量用已知

65、夹角和模的向量表示后再进行运算．1.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　)A．2·B．2·C．2·D．2·解析：2·＝－2·＝－2a2cos60°＝－a2，2·＝2·＝2a2cos60°＝a2,2·＝·＝－a2，2·＝·＝－·＝－a2.答案：B2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积：(1)·；　(2)·.解：如图所示，设＝a，＝b，＝c，则

66、a

67、＝

68、c

69、＝2，

70、b

71、＝4

72、，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)·＝·(＋)＝b·[(c－a)＋b]＝

73、b

74、2＝42＝16.(2)·＝(＋)·(＋)＝(c－a＋b)·(a＋c)＝

75、c

76、2－

77、a

78、2＝22－22＝0.用数量积求夹角[例2]　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值．[思路点拨]　先求·，再由夹角公式求cos〈，〉，并由此确定异面直线BA1与AC所成角的余弦值．[精解详析]　∵＝＋＝＋，＝－，且·＝·＝·＝0，∴·＝－＝－1.又

79、

80、＝，

81、

82、＝＝，∴cos〈，〉＝＝＝－，则异面直线BA1与AC

83、所成角的余弦值为.[一点通]　利用数量积求异面直线所成角的余弦值的方法：3．已知a，b是异面直线，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是(　　)A．30°　　　　　　　　　　　B．45°C．60°D．90°解析：设〈，〉＝θ，∵·＝(＋＋)·＝

84、

85、2＝1，∴cosθ＝＝.又θ∈[0，π]，∴θ＝60°.答案：C4．已知空间四边形OABC各边及对角线长相等，E，F分别为AB，OC的中点，求与所成角的余弦值．解：如图，设＝a，＝b，＝c，且

86、a

87、＝

88、b

89、＝

90、c

91、＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝，则

92、a·b＝b·c＝c·a＝.因为＝(a＋b)，＝c－b，

93、

94、＝

95、

96、＝，∴·＝(a＋