《3.1 空间向量及其运算-3.1.3 空间向量基本定理》导学案

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1、《3.1.3空间向量基本定理》导学案教学过程一、问题情境空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗？如何表示？二、数学建构由上例归纳，可得到一般性结论:1.空间向量基本定理如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么对空间任一向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使p=xe1+ye2+ze3.证明　(存在性)如图，设e1，e2，e3不共面(图1)过点P作直线PP'∥OC，交平面OAB于点P'；在平面OAB内，过点P'作直线P'A'∥OB，P'B'∥OA，分别与直线OA，OB相交于点A'，B'.2.基底如果三个向量e1，e2，e3不共面，那么空间的

2、每一个向量都可由e1，e2，e3线性表示，我们把{e1，e2，e3}称为空间的一个基底，向量e1，e2，e3叫做基向量.如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直，那么这个基底叫做正交基底.特别地，当一个正交基底的三个基向都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用{i，j，k}表示.三、数学运用1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1)向量：具有_____________和____________的量．(2)向量相等：方向___________且长度___________．(3)向量加法法则：_______________

3、_______．(4)向量减法法则：______________________．(5)数乘向量法则：______________________．2．线性运算律(1)加法交换律：＝______________________．(2)加法结合律：＝______________________．(3)数乘分配律：＝______________________．3．共线向量(1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相________或________．(2)共线向量定理：对空间任意两个向量等价于存在实数，使________．4．共面向量(1)共面

4、向量：平行于_______________的向量．(2)共面向量定理：两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在实数对，使_______________．共面向量定理的推论：_______________．5．空间向量基本定理(1)空间向量的基底_______________的三个向量．(2)空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间中任意一个向量，存在一个唯一的有序实数组，使__________________．6．空间向量的数量积(1)空间向量的夹角：________________．(2)空间向量的长度或模：____________

5、_____．(3)空间向量的数量积：已知空间中任意两个向量，则＝__________________．空间向量的数量积的常用结论：(a)＝____________；(b)＝____________；(c)_______________．(4)空间向量的数量积的运算律：(a)交换律＝_________________；(b)分配律＝_________________．课后练习1.在平行六面体中，M为AC与BD的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是----------------------------------------------------

6、---------（）A．-＋＋B．＋＋C．-＋cD．--＋2．在长方体中，下列关于的表达中错误的一个是-------------（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．3．已知非零向量不共线，如果，则四点-------------------------------------------------------------------------------------------------（　　）Ａ．一定共圆Ｂ．恰是空间四边形的四个顶点心Ｃ．一定共面Ｄ．肯定不共面4．若，，且，则的值分别为-----------------------------------

7、-------------------------------------------------（　　）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．5．若三点共线，为空间任意一点，且，则的值为（　　）Ａ．1Ｂ．Ｃ．Ｄ．6．已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若，求x－y的值.