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1、金陵中学2012-2013学年高二上数学教案3.1.1空间向量及其线性运算教学目标：1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的线性运算及其性质；2.理解空间向量共线的充要条件;3.运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程.教学重点：空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质；教学过程：一.问题情境由于实际问题的需要,在必修4中,我们学习了平面向量,研究了平面向量的概念、运算及其性质,进而解决了平面上有关点,线的位置关系及度量问题.但向量未必都在同一平面内,如下问题:已知物体受三个大小都为1000N的力F1，F2，F3，且这三个力两两之间的
2、夹角都为60°，则物体所受的合力为多少？是否为++?F1F2F3此问题中,三个向量不在同一平面内,问题不好直接用平面向量来解决,为此需要将向量由平面向空间推广!二.数学理论1.平面向量与空间向量的有关概念(1)在平面上，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量.平面上的向量一般用有向线段表示,同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的；长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；19金陵中学2012-2013学年高二上数学教案方向相反但模相等的向量叫做相反向量;向量a的相反向量记作－a．方向相同或相反的非零向
3、量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行；记作：a∥b，0∥a．由向量的实际背景,平面向量的有关概念都可以移植到空间中(2)空间向量的有关概念：在空间，我们把既有大小又有方向的量叫做空间向量.空间向量一般用有向线段表示.同向等长的有向线段表示同一或相等的向量.在空间中，长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的；长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；方向相反但模相等的向量叫做相反向量;向量a的相反向量记作－a．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行；记作：a∥b，0∥a．2.平面向量与空间向量的线性运
4、算我们现在研究的是自由向量,大小相等方向相同的向量是相等向量,而与它们的起点无关.所以任意两个空间向量都可以平移到同一平面内因此,空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示.这样,空间两个向量的线性运算的意义与平面向量完全一样.已知空间向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b.由O，A，B三点确定一个平面或共线可得，空间任意两个向量都可以用同一平面内的两个有向线段来表示.baBAOα19金陵中学2012-2013学年高二上数学教案空间向量的加法、减法与数乘运算的意义如下（如图）OBbaCAa＋bababOABa＋baAObBa－baλaO
5、P＝＋＝a＋b（三角形法则）＝＋＝a＋b（平行四边形法则）＝－＝a－b＝λa(λ∈R)平面向量的线性运算满足下列运算律运算律：⑴加法交换律：a＋b＝b＋a⑵加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)⑶数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)那么,空间向量的运算是否仍满足上述规律?19金陵中学2012-2013学年高二上数学教案(1),(3)中只涉及两个向量,显然满足,但(2)中涉及三个向量,在空间中是否成立?这一规律关系到空间中三个向量和的定义问题?OABCabca＋ba＋b＋cb＋c结合律的验证：三个向量中有共线向量时规律显然成立.平面向
6、量共线的充要条件在空间也是成立的3．共线向量定理：共线向量定理：空间任意两个向量a,b(a≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使b＝λa.三.数学运用A1B1C1BCAM例1.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：(1)＋;(2)＋＋;(3)－－解：(1)＋＝(2)因为M是BB1的中点,所以＝，＋＋19金陵中学2012-2013学年高二上数学教案又＝，所以＋＋＝＋＝.(3)－－＝－＝.例2.如图，在长方体OADB-CA’D’B’中，OA＝3,OB＝4,OC＝2,OI＝OJ＝OK＝1,，
7、点E,F分别是DB,D’B’的中点，设＝i,＝j,＝k,,试用向量i,j,k表示和.D/OA/ADEBFCB/解：∵＝＝3＝3i，∴＝＝i.又＝4＝4j,∴＝＋＝i＋4j.∵＝＝＝2k，∴＝＋＝i＋4j＋2k.ABCDA’B’C’D’例3.已知平行六面体ABCD-ABCD.求证：＋＋＝2.证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴＝＋，＝＋，＝＋，∴＋＋＝(＋)＋(＋)+(＋)＝2(＋＋).又∵＝，＝，∴＋＋＝＋＋＝＋＝，∴＋＋＝2.【课堂练习】已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简
8、结果向量：(1)＋＋；(2)＋(＋)；(3)－(＋)．19金陵中学2012-2013学年高二上数学教案四、回顾总结空间向量的定义与运算法
