2020_2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.2空间向量的数乘运算课时跟踪训练含解析新人教A版选修2_1.doc

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1、空间向量的数乘运算[A组　学业达标]1．设M是△ABC的重心，记a＝，b＝，c＝，则为(　　)A.　　　　　　　B.C.D.解析：M为△ABC重心，则＝＝(＋)＝(c－b)．答案：D2.如图所示，空间四边形OABC中，OA＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则等于(　　)A.a－b＋cB．－a＋b＋cC.a＋b－cD.a＋b－c解析：＝－＝(＋)－＝(b＋c)－a＝－a＋b＋c.答案：B3.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ等于(　　)A.B.C．－D．－解析：∵＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ＝

2、.答案：A4．非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k等于(　　)A．0B．1C．－1D．±1解析：若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，∴∴k＝±1.答案：D5．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(　　)A.＝3－2－B.＋＋＋＝0C.＋＋＝0D.＝－＋解析：∵＋＋＝0，∴＝－－，∴M与A，B，C必共面．答案：C6．化简：(a＋2b－3c)＋5－3(a－2b＋c)＝________.解析：原式＝a＋b－c＋a－b＋c－3a＋6b－3c＝a＋b＋c＝a＋b－c.答案：a＋

3、b－c7．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝3，＝＋λ，则λ＝________.解析：＝－＝－＝－(－)＝＋，又＝＋λ，所以λ＝.答案：8．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，若＝x＋2y＋3z，则x＋y＋z＝________.解析：如图所示，＝＋＋＝＋＋(－1).又∵＝x＋2y＋3z，∴x＋2y＋3z＝＋＋(－1)，∴解得∴x＋y＋z＝1＋－＝.答案：9.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c.试用a，b，c表示，.解析：＝＋＋＝－a＋c＋＝－a＋c＋(a＋b)＝－a＋b＋

4、c，＝＋＝＋＝－b－a＋b＋c＝－a－b＋c.10.如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量与＋是否共线？解析：∵E，F分别是AB，CD的中点．∴＝＝(＋)又∵＝－＝(＋)－＝又∵＋＝＋－＝2∴与＋共线．[B组　能力提升]11．给出下列命题：①若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；②

5、a

6、－

7、b

8、＝

9、a＋b

10、是a，b共线的充要条件；③若，共线，则AB∥CD；④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．其中不正确命题的个数是(

11、　　)A．1B．2C．3D．4解析：显然①正确；若a，b共线，则

12、a

13、＋

14、b

15、＝

16、a＋b

17、或

18、a＋b

19、＝

20、

21、a

22、－

23、b

24、

25、，故②错误；若，共线，则直线AB，CD可能重合，故③错误；只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故④错误．故选C.答案：C12．已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，则A，B，C，D四点(　　)A．一定共线B．恰是空间四边形的四个顶点C．一定共面D．肯定不共面解析：因为非零向量e1，e2不共线，＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，所以5－＝5

26、e1＋5e2－3e1＋3e2＝2e1＋8e2＝，所以＝5－.由平面向量基本定理可知，A，B，C，D四点共面．答案：C13.如图所示，在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．解析：＝＋＝a＋＝a＋(－)＝a＋＝a＋×(＋)＝a＋b＋c.答案：a＋b＋c14.如图所示，已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别为PC，PD上的点，且PM∶MC＝2∶1，N为PD的中点．若＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________.解析：在PD上取一点

27、F，使PF∶FD＝2∶1，连接MF(图略)，则＝＋.因为＝－＝－＝＝(－)，＝＝＝－，所以＝－－＋，所以x＝－，y＝－，z＝.故x＋y＋z＝－.答案：－15．在长方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，点N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：与，共面．证明：∵＝－，＝＋＝－，＝＝(＋)，∴＝－＝(＋)－＝(－)＋＝＋，∴与，共面．16.如图，已知M，N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线．证明：设＝a，＝b，＝c，则＝＋＝＋＝－a＋(a＋b＋c)＝

28、－a＋b＋c，＝＋＝＋(＋)＝－a＋b＋c＝，∴∥.又BN∩BG＝B，∴B，G，N三点共线．