2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.2 空间向量的数乘运算学案 新人教a版选修2-1

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1、3.1.2　空间向量的数乘运算学习目标　1.掌握空间向量数乘运算的定义及数乘运算的运算律.2.了解平行(共线)向量、共面向量的意义，掌握它们的表示方法.3.理解共线向量的充要条件和共面向量的充要条件及其推论，并能应用其证明空间向量的共线、共面问题.知识点一　空间向量的数乘运算思考　实数λ和空间向量a的乘积λa的意义是什么？向量的数乘运算满足哪些运算律？答案　λ>0时，λa和a方向相同；λ<0时，λa和a方向相反；λa的长度是a的长度的

2、λ

3、倍.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb，②结合律：λ(μa)＝(λ

4、μ)a.梳理　(1)实数与向量的积与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa，其长度和方向规定如下：①

5、λa

6、＝

7、λ

8、

9、a

10、.②当λ>0时，λa与向量a方向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0.(2)空间向量数乘运算满足以下运算律①λ(μa)＝(λμ)a；②λ(a＋b)＝λa＋λb；③(λ1＋λ2)a＝λ1a＋λ2a(拓展).知识点二　共线向量与共面向量思考1　回顾平面向量中关于向量共线的知识，给出空间中共线向量的定义.答案　如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重

11、合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量.思考2　空间中任何两个向量都是共面向量，这个结论是否正确？答案　正确.根据向量相等的定义，可以把向量进行平移，空间任意两个向量都可以平移到同一平面内，成为共面向量.梳理　(1)平行(共线)向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线的位置关系：互相平行或重合充要条件对空间任意两个向量a，b(b≠0)，存在实数λ，使a＝λb点P在直线l上的充要条件存在实数t满足等式＝＋ta，在直线l上取向量＝a，则＝＋t向量a为直线l的方向向量(2)共面向量定义平行于同一个平面的向量三个向量共面的充要条件向量p与不共线向量a

12、，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb点P位于平面ABC内的充要条件存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y对空间任一点O，有＝＋x＋y类型一　向量共线问题例1　如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且＝2，F在对角线A1C上，且＝.求证：E，F，B三点共线.证明　设＝a，＝b，＝c.∵＝2，＝，∴＝，＝.∴＝＝b，＝(－)＝(＋－)＝a＋b－c.∴＝－＝a－b－c＝.又＝＋＋＝－b－c＋a＝a－b－c，∴＝.∴E，F，B三点共线.反思与感悟　判定向量a，b(b≠0)共线，只需利用已知条件找

13、到x，使a＝xb即可.证明点共线，只需证明对应的向量共线.跟踪训练1　如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量与＋是否共线？解　设AC中点为G，连接EG，FG，∴＝，＝，又∵，，共面，∴＝＋＝＋＝(＋)，∴与＋共线.类型二　空间向量的数乘运算及应用例2　如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3)＋.解　(1)＝＋＝(＋)＋＝a＋c＋b.(2)＝＋＝－＋＋＝－a＋b＋c.(3)＋＝(

14、＋＋)＋(＋)＝＋＋＋＋＝＋＋＝a＋b＋c.引申探究若把本例中“P是C1D1的中点”改为“P在线段C1D1上，且＝”，其他条件不变，如何表示？解　＝＋＝＋＋＝a＋c＋b.反思与感悟　利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量.(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质.跟踪训练2　如图，在空间四边形OABC中，M，N分别是对边OA，BC的中点，点G在MN上，且MG＝2GN，如图所示，记＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量.解

15、　＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝a＋[－a＋c＋(b－c)]＝a＋b＋c.类型三　空间向量共面问题例3　如图所示，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，并且使＝＝＝＝k，求证：E，F，G，H四点共面.证明　因为＝＝＝＝k，所以＝k，＝k，＝k，＝k.由于四边形ABCD是平行四边形，所以＝＋.因此＝－＝k－k＝k＝k(＋)＝k(－＋－)＝－＋－＝＋.由向量共面的充要条件知E，F，G，H四点共面.反思与感悟　(1)利用四点共面求参数向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共

16、线的向量一定可以表示其他向量，对于向量共面的充要条件，不仅会正用，也要能够逆用它求参数的值.(2)证明空间向量共面或四点共面的方法①向量表示：设法证明其中一个向量可