高中数学第3章空间向量与立体几何3.1.1空间向量及其加减运算3.1.2空间向量的数乘运算学案新人教A版

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1、3.1.1　空间向量及其加减运算3.1.2　空间向量的数乘运算学习目标核心素养1．理解空间向量的概念．(难点)2．掌握空间向量的线性运算．(重点)3．掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用．(重点、难点)1．通过空间向量有关概念的学习，培养学生的数学抽象核心素养．2．借助向量的线性运算、共线向量及共面向量的学习，提升学生的直观想象和逻辑推理的核心素养.1．空间向量(1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度或模：向量的大小．(3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②

2、字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作：，其模记为

3、a

4、或

5、

6、．2．几类常见的空间向量名称方向模记法零向量任意00单位向量任意1相反向量相反相等a的相反向量：－a的相反向量：相等向量相同相等a＝b3.向量的加法、减法空间向量的运算加法＝＋＝a＋b减法＝－＝a－b加法(1)交换律：a＋b＝b＋a运算律(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)4.空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．当λ>0时，λa与向量a方

7、向相同；当λ<0时，λa与向量a方向相反；当λ＝0时，λa＝0；λa的长度是a的长度的

8、λ

9、倍．(2)运算律：①λ(a＋b)＝λa＋λb；②λ(μa)＝(λμ)a．5．共线向量和共面向量(1)共线向量①定义：表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．②共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb．③点P在直线AB上的充要条件：存在实数t，使＝＋t．(2)共面向量①定义：平行于同一个平面的向量叫做共面向量．②共面向量定

10、理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x_a＋y_b．③空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y)使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y．思考：(1)空间中任意两个向量一定是共面向量吗？(2)若空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足＝＋＋，则点P与点A，B，C是否共面？[提示]　(1)空间中任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一个平面的两个向量，因此一定是共面向量．(2)由＝＋＋得－＝(－)＋(－)即

11、＝＋，因此点P与点A，B，C共面．1．如图所示，在四棱柱ABCDA1B1C1D1所有的棱中，可作为直线A1B1的方向向量的有(　　)A．1个　　　B．2个　　　C．3个　　　D．4个D　[共四条：AB，A1B1，CD，C1D1.]2．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则＝(　　)A．a＋b－cB．－a－b＋cC．－a＋b＋cD．－a＋b－cC　[＝＋＋＝－＋＝－a＋b＋c.]3．在三棱锥ABCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为________．0　[延长DE交边BC

12、于点F，则有＋＝，＋＝＋＝，故＋－－＝0.]4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，化简向量表达式－＋－的结果为________．2　[－＋－＝(＋)－(＋)＝－＝2.]　空间向量的有关概念【例1】　(1)给出下列命题：①若

13、a

14、＝

15、b

16、，则a＝b或a＝－b；②若向量a是向量b的相反向量，则

17、a

18、＝

19、b

20、；③在正方体ABCDA1B1C1D1中，＝；④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p.其中正确命题的序号是________．(2)如图所示，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，顶点连接的

21、向量中，与向量相等的向量有________；与向量相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量)(1)②③④　(2)，，　，，，　[(1)对于①，向量a与b的方向不一定相同或相反，故①错；对于②，根据相反向量的定义知

22、a

23、＝

24、b

25、，故②正确；对于③，根据相等向量的定义知，＝，故③正确；对于④，根据相等向量的定义知正确．](2)根据相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，.与向量相反的向量有，，，.]解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点(1)关键点：紧紧抓住向量的两个要素，即大小和方向

26、．(2)注意点：注意一些特殊向量的特性．①零向量不是没有方向，而是它的方向是任意的，且与任何向量都共线，这一点说明了共线向量不具备传递性．②单位向量方向虽然不一定相同，但它们的长度都是1.③两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同．若两个向量模相等，方向相反，则它们为相反向量．1．如图所示，以长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)试写出与相等的所有向量；(2)试写出的相反向量