2018版高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1.1 空间向量及其加减运算 3.1.2 空间向量的数乘运算学案 新人教a版选修2-1

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1、3.1.1　空间向量及其加减运算3.1.2　空间向量的数乘运算1.理解空间向量的概念.(难点)2.掌握空间向量的线性运算.(重点)3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用.(重点、难点)[基础·初探]教材整理1　空间向量的概念阅读教材P84～P85第二自然段内容，完成下列问题.名称定义空间向量在空间中，具有______和______的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的______单位向量长度或模为______的向量零向量______的向量相等向量方向______且模______的向量相反向量______相反且______相

2、等的向量【答案】　大小　方向　长度或模　1　长度为0　相同　相等　方向　模在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量共有(　　)A.1个B.2个　　　C.3个　　　D.4个【解析】　与向量相等的向量有，，共3个.【答案】　C教材整理2　空间向量的线性运算阅读教材P85第三自然段～P863.1.2第二自然段，完成下列问题.1.(1)空间向量的加、减法运算(如图311)图311＝＋＝________；＝－＝________.(2)运算律：①a＋b＝________；②(a＋b)＋c＝________.【

3、答案】　a＋b　a－b　b＋a　a＋(b＋c)2.空间向量的数乘运算(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积________仍然是一个________，称为向量的数乘运算.当λ>0时，λa与向量a方向__________；当λ<0时，λa与向量a方向________；当λ＝0时，λa＝________；λa的长度是a的长度的________倍.(2)运算律：①λ(a＋b)＝________；②λ(μa)＝________.【答案】　(1)λa　向量　相同　相反　0　

4、λ

5、　(2)λa＋λb　(λμ)a1.已知空间四边形ABCD中，＝a

6、，＝b，＝c，则等于(　　)A.a＋b－cB.－a－b＋cC.－a＋b＋cD.－a＋b－c【解析】　＝＋＋＝－＋＝－a＋b＋c.【答案】　C2.在三棱锥ABCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则＋－－化简的结果为________.【解析】　延长DE交边BC于点F，则有＋＝，＋＝＋＝，故＋－－＝0.【答案】　0教材整理3　共线向量和共面向量阅读教材P86第三自然段～P88“思考”以上内容，完成下列问题.1.共线向量(1)定义：表示空间向量的有向线段所在的直线____________，则这些向量叫做________或平行向量.(

7、2)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使________.【答案】　(1)互相平行或重合　共线向量　(2)a＝λb2.共面向量(1)定义：平行于________________的向量叫做共面向量.(2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使________.推论：空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使________；或对空间任一定点O，有＝＋x＋y.【答案】　(1)同一个平面(2)p＝x

8、a＋yb　＝x＋y判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)共线向量一定是共面向量，但共面向量不一定是共线向量.(　　)(2)若表示两向量的有向线段所在的直线为异面直线，则这两个向量不是共面向量.(　　)(3)如果＝＋t，则P，A，B共线.(　　)(4)空间中任意三个向量一定是共面向量.(　　)【答案】　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×[小组合作型]空间向量的有关概念　(1)给出下列命题：①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCDA1B1C1D1中，＝；③若向量a与向量b的模相等，则a，b的方向相同或相反；④在四边形ABC

9、D中，必有＋＝.其中正确命题的序号是________.(2)如图312所示，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有________；与向量相反的向量有________.(要求写出所有适合条件的向量)图312【自主解答】　(1)①正确；②正确，因为与的大小和方向均相同；③

10、a

11、＝

12、b

13、，不能确定其方向，所以a与b的方向不能确定；④中只有当四边形ABCD是平行四边形时，才有＋＝.综上可知，正确命题为①②.(2)根据相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，.与向量相反的向量有，，，.【答案】　(1)

14、①②　(2)，，　，，，1.在空间中，零向量、单位向量、向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全相同.2.由于向量是由其模和方向确定的，因此解答空间向量有关概念问题时，通常抓住这两点来解决.3.零向量是一个特殊向量，其方向是任