2018版高中数学第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3.1.3空间向量的数量积运算学案新人教a版选修2

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1、3.1.3　空间向量的数量积运算学习目标　1.掌握空间向量夹角概念及表示方法.2.掌握两个向量的数量积的概念、性质、计算方法及运算规律.3.掌握两个向量的数量积的主要用途，能运用数量积求向量夹角和判断向量的共线与垂直.知识点一　空间向量数量积的概念思考1　如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，类比平面向量有关运算，如何求向量与的数量积？并总结求两个向量数量积的方法.答案　∵＝－，∴·＝·－·＝

2、

3、

4、

5、cos〈，〉－

6、

7、

8、

9、c

10、os〈，〉＝8×4×cos135°－8×6×cos120°＝24－16.求两个向量的数量积需先确定这两个向量的模和夹角，当夹角和长度不确定时，可用已知夹角和长度的向量来表示该向量，再代入计算.思考2　等边△ABC中，与的夹角是多少？答案　120°.梳理　(1)定义：已知两个非零向量a，b，则

11、a

12、

13、b

14、cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.(2)数量积的运算律数乘向量与向量数量积的结合律(λa)·b＝λ(a·b)交换律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c(3)空间向量的夹

15、角①定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉.②范围：〈a，b〉∈[0，π].特别地：当〈a，b〉＝时，a⊥b.知识点二　空间向量的数量积的性质两个向量数量积的性质①若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0②若a与b同向，则a·b＝

16、a

17、·

18、b

19、；若反向，则a·b＝－

20、a

21、·

22、b

23、.特别地，a·a＝

24、a

25、2或

26、a

27、＝③若θ为a，b的夹角，则cosθ＝④

28、a·b

29、≤

30、a

31、·

32、b

33、类型一　空间向量的数量积运算命题角度1　空间向量的数

34、量积基本运算例1　(1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明.①p2·q2＝(p·q)2；②

35、p＋q

36、·

37、p－q

38、＝

39、p2－q2

40、；③若a与(a·b)·c－(a·c)·b均不为0，则它们垂直.解　①此命题不正确.∵p2·q2＝

41、p

42、2·

43、q

44、2，而(p·q)2＝(

45、p

46、·

47、q

48、·cos〈p，q〉)2＝

49、p

50、2·

51、q

52、2·cos2〈p，q〉，∴当且仅当p∥q时，p2·q2＝(p·q)2.②此命题不正确.∵

53、p2－q2

54、＝

55、(p＋q)·(p－q)

56、＝

57、p＋q

58、·

59、p－q

60、·

61、cos〈

62、p＋q，p－q〉

63、，∴当且仅当(p＋q)∥(p－q)时，

64、p2－q2

65、＝

66、p＋q

67、·

68、p－q

69、.③此命题正确.∵a·[(a·b)·c－(a·c)·b]＝a·(a·b)·c－a·(a·c)·b＝(a·b)(a·c)－(a·b)(a·c)＝0，且a与(a·b)·c－(a·c)·b均为非零向量，∴a与(a·b)·c－(a·c)·b垂直.(2)设θ＝〈a，b〉＝120°，

70、a

71、＝3，

72、b

73、＝4，求：①a·b；②(3a－2b)·(a＋2b).解　①∵a·b＝

74、a

75、

76、b

77、cos〈a，b〉，∴a·b＝3×4×

78、cos120°＝－6.②∵(3a－2b)·(a＋2b)＝3

79、a

80、2＋4a·b－4

81、b

82、2＝3

83、a

84、2＋4

85、a

86、

87、b

88、cos120°－4

89、b

90、2，∴(3a－2b)·(a＋2b)＝3×9＋4×3×4×(－)－4×16＝27－24－64＝－61.反思与感悟　(1)已知a，b的模及a与b的夹角，直接代入数量积的公式计算.(2)如果欲求的是关于a与b的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算律将多项式展开，再利用a·a＝

91、a

92、2及数量积公式进行计算.跟踪训练1　已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°

93、，那么

94、a＋3b

95、等于(　　)A.B.C.D.4答案　C解析　∵

96、a＋3b

97、2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6×cos60°＋9＝13，∴

98、a＋3b

99、＝.命题角度2　利用空间向量的数量积解决立体几何中的运算问题例2　已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点.试计算：(1)·；(2)·；(3)·.解　如图，设＝a，＝b，＝c，则

100、a

101、＝

102、c

103、＝2，

104、b

105、＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)·＝b·[(c－a)＋

106、b]＝

107、b

108、2＝42＝16.(2)·＝·(a＋c)＝

109、c

110、2－

111、a

112、2＝22－22＝0.(3)·＝·＝(－a＋b＋c)·＝－

113、a

114、2＋

115、b

116、2＝2.反思与感悟　两向量的数量积，其运算结果是数量，而不是向量.零向量与任意向量的数量积为0.向量的数量积不满足结合律.跟踪训练2　已知正四面体OABC的棱长为1，求：(1)(＋)·(＋)；(2)

117、＋＋

118、.解　(1)(＋)·(＋)＝(＋)·(－＋－)＝(＋)·(＋－2)＝12＋1×1×cos60°－2×1×1×cos60°＋1×1×cos60°＋12－2×