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《高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.5 夹角的计算教学案 北师大版选修.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§5夹角的计算第一课时 直线间的夹角、平面间的夹角山体滑坡是一种常见的自然灾害．甲、乙两名科学人员为了测量一个山体的倾斜程度，甲站在水平地面上的A处，乙站在山坡斜面上的B处，从A，B两点到直线l(水平地面与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30m和40m，CD的长为60m，AB的长为80m.问题1：直线AC和BD的夹角范围是什么？向量与向量的夹角范围是什么？提示：，[0，π]．问题2：直线AC与BD的夹角与〈，〉有什么关系？提示：当0≤〈，〉≤时，它们相等；当<〈，〉≤π时，直线AC与BD的夹角为π－〈，〉．问题3：上图中水平地面与斜坡面的夹角α与〈，〉有什么关系？为什么？提示：α＝
2、π－〈，〉，因为图中两平面夹角(即为直线BD与CA的夹角)为锐角，而〈，〉为钝角，所以α＝π－〈，〉．问题4：若n1，n2分别为两个平面π1，π2的法向量，则π1与π2的夹角θ与〈n1，n2〉有什么关系？提示：当0≤〈n1，n2〉≤时，θ＝〈n1，n2〉；当<〈n1，n2〉≤π时，θ＝π－〈n1，n2〉．1．两直线的夹角当两条直线l1与l2共面时，把两条直线交角中，范围在内的角叫做两直线的夹角．2．异面直线l1与l2的夹角(1)定义：直线l1与l2是异面直线，在直线l1上任取一点A作AB∥l2，则直线l1和直线AB的夹角叫作异面直线l1与l2的夹角．(2)计算：设直线l1与l2的方向
3、向量分别为s1，s2.当0≤〈s1，s2〉≤时，直线l1与l2的夹角等于〈s1，s2〉；当<〈s1，s2〉≤π时，直线l1与l2的夹角等于π－〈s1，s2〉．3．平面间的夹角(1)定义：平面π1与π2相交于直线l，点R为直线l上任意一点，过点R，在平面π1上作直线l1⊥l，在平面π2上作直线l2⊥l，则直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角．(2)计算：已知平面π1和π2的法向量分别为n1和n2，当0≤〈n1，n2〉≤时，平面π1和π2的夹角等于〈n1，n2〉；当<〈n1，n2〉≤π时，平面π1和π2的夹角等于π－〈n1，n2〉．1．求空间角时，要注意角的范围．(1)异面直线夹
4、角范围是；(2)两平面夹角范围是.2．求两异面直线的夹角、两平面夹角时可用定义求解；也可用直线的方向向量、平面的法向量的夹角进行求解，但要注意其转化关系．求异面直线的夹角[例1] 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，∠PDA＝30°，AE⊥PD，E为垂足．(1)求证：BE⊥PD；(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值．[思路点拨] 要证明两直线垂直，或求两直线的夹角，只要适当地建立空间直角坐标系，求出两直线对应的方向向量，然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得．[精解详析] 以A
5、为原点，AB，AD，AP所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，如图，则A(0,0,0)，B(a,0,0)，C(a，a,0)，D(0,2a,0)．又∵∠PDA＝30°，∴AP＝AD·tan30°＝2a·＝a，AE＝AD·sin30°＝2a·＝a.过E作EF⊥AD，垂足为F，在Rt△AFE中，AE＝a，∠EAF＝60°，∴AF＝，EF＝a.∴P，E.(1)证明：＝，＝，∴·＝0＋a2－a2＝0.∴⊥，∴BE⊥PD.(2)＝，＝(－a，a,0)．则cos〈，〉＝＝＝，即AE与CD的夹角的余弦值为.[一点通] 1．求两异面直线的夹角时，可用向量法转化为求两异面直线的方向向量a，b的夹角〈a
6、，b〉．但两异面直线的夹角范围是，所以当〈a，b〉∈时，两异面直线的夹角应为π－〈a，b〉．2．合理建立空间直角坐标系，可使两异面直线的夹角问题转化为向量的坐标运算，也可选用基向量法进行求解．1．把正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，点E，F分别是AD，BC的中点，O是正方形ABCD的中心，则折起后，∠EOF的大小为( )A．60° B．90°C．120°D．150°解析：如图，建立空间直角坐标系，设正方形边长为2.则F，E，∴＝，＝，∴cos∠EOF＝cos〈，〉＝＝－，∴∠EOF＝120°.答案：C2．在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线
7、BA1与AC的夹角．解：法一：以A点为坐标原点，建立直角坐标系如右图所示，设B(1,0,0)，则C(1,1,0)，A1(0,0,1)，∴＝(1,1,0)，＝(－1,0,1)，∴cos〈，〉＝＝＝－.∴〈，〉＝120°.故AC与BA1的夹角为60°.法二∵＝＋，＝＋，∴·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·.∵AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，∴·＝0，·＝0，·＝0，∴·＝－a2.又∵＝
8、
9、·
10、
11、·cos〈，〉，∴cos〈，〉＝＝－.∴〈，〉＝120°.
