2018_2019学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.5夹角的计算课时作业北师大版

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1、2.5夹角的计算[基础达标]如果平面的一条斜线和它在平面上的射影的方向向量分别是a＝(0，2，1)，b＝(，，)，那么这条斜线与平面的夹角是(　　)A．90°B．60°C．45°D．30°解析：选D.cos〈a，b〉＝＝＝，∴〈a，b〉＝30°.平面α的一个法向量为n1＝(4，3，0)，平面β的一个法向量为n2＝(0，－3，4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为(　　)A．－B．C.D．以上都不对解析：选B.∵cos〈n1，n2〉＝＝－，∴平面α与平面β夹角的余弦值为.如图，在空间直角坐标系中有正三棱柱ABCA1B1C1，已知AB＝1，点D在BB1上，且BD＝1，则AD与侧面AA1C1C所

2、成角的余弦值是(　　)A.　　　　B．C.D．解析：选D.A点坐标为(，－，0)，D点坐标为(1，0，1)，∴＝(，，1)．易知平面ACC1A1的法向量n＝－＝(1，0，0)－(，－，0)＝(，，0)．∵cosn，＝＝，∴所求角的余弦值为＝.在正四棱锥PABCD中，PA＝2，直线PA与平面ABCD所成角为60°，E为PC的中点，则异面直线PA与BE所成角为(　　)A．90°B．60°C．45°D．30°解析：选C.建立如图所示的空间直角坐标系，则∠PAO＝60°，∴OP＝，OA＝1，AB＝，P(0，0，)，A(，－，0)，B(，，0)，C(－，，0)，E(－，，)，＝(－，，)，＝(－

3、，－，)，cos〈，〉＝＝，∴〈，〉＝45°，即异面直线PA与BE所成角为45°.如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则平面CBF与平面BFD夹角的正切值为(　　)A.B．C.D．解析：选D.连接BD，设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，∴B(，0，0)，F(0，0，)，C(0，，0)，D(－，0，0)．∴＝(0，，0)，且为平面BDF的一个法向量．由＝(－，，0)，＝(，0，－)可得平面BCF的一个法向量n＝(1，，)．∴cos

4、〈n，〉＝，sin〈n，〉＝.∴tan〈n，〉＝.在空间中，已知二面角αlβ的大小为，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则〈n1，n2〉的大小为________．解析：半平面α(及其法向量n1)绕l旋转使与β重合，若n1与n2同向时〈n1，n2〉＝，若n1与n2反向时〈n1，n2〉＝.答案：或如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，令

5、AB

6、＝2，则D(0，0，0)，C(0，2，0)，M(0，1，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，N(0，2，1)，＝(

7、－2，1，－2)，＝(0，2，1)，∵·＝0，∴⊥，即异面直线A1M与DN所成的角为.答案：如图所示，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝AB＝2AC＝2a，则AB与平面PBC所成角的正弦值为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则AB＝2a(a＞0)，O(0，0，0)，B(0，2a，0)，C(a，，0)，P(0，0，2a)．＝(0，2a，0)，设平面PBC的法向量n＝(x，y，z)，则，即，∴，令y＝z＝1，则x＝，n＝(，1，1)，cos〈n，〉＝.答案：在三棱柱ABCA1B1C1中，A1A⊥底面ABC，∠ACB＝90°，AA1＝AC＝BC＝2，D为

8、AB中点．(1)求证：BC1∥平面A1CD；(2)求直线AA1与平面A1CD所成角的正弦值．解：(1)证明：连接AC1交A1C于O点，则DO为△ABC1的中位线，故DO∥BC1，又DO平面A1CD，BC1⃘平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(2，0，0)，A1(2，0，2)，D(1，1，0)，设平面A1DC的法向量为n＝(x，y，z)，由得，令x＝1得n＝(1，－1，－1)．设直线AA1与平面A1CD所成角为α，则sinα＝

9、cos〈，n〉

10、＝

11、

12、＝.如图，PC⊥平面ABC，DA∥PC，∠BCA＝90°，AC

13、＝BC＝1，PC＝2，AD＝1.(1)求证：PD⊥平面BCD；(2)设Q为PB的中点，求二面角QCDB的余弦值．解：(1)证明：因为PC⊥平面ABC，所以PC⊥BC.又BC⊥AC，因为PC平面PDAC，AC平面PDAC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PDAC，又PD平面PDAC，所以BC⊥PD.因为AC＝BC＝AD＝1，PC＝2，DA⊥AC，所以PD⊥CD.因为CD平面BCD，BC平面BCD，CD∩BC＝C，所