2016_2017学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.5夹角的计算课后演练提升北师大版

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1、2016-2017学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.5夹角的计算课后演练提升北师大版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．设ABCD，ABEF都是边长为1的正方形，FA⊥面ABCD，则异面直线AC与BF所成角等于(　　)A．45°　　　　　　　　　　　B．30°C．90°D．60°解析：　作出图形，建立如右图所示的空间直角坐标系Oxyz，则：A(0,0,0)，C(1,1,0)，F(0,0,1)，B(0,1,0)，∴A＝(1,1,0)，B＝(0，－1,1)，∴

2、A

3、＝，

4、B

5、＝，A·B＝－1，c

6、os〈A，B〉＝＝－，∴〈A，B〉＝120°.又异面直线所成角的取值范围为(0,90°]．∴AC与BF所成角为60°.故选D.答案：　D2．若平面α的法向量为u，直线l的方向向量为v，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是(　　)A．cosθ＝B．cosθ＝C．sinθ＝D．sinθ＝解析：　u与v的夹角的余角才是直线l与平面α所成的角，因此选D.答案：　D3．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1夹角的正弦值为(　　)A.B.C.D.解析：

7、　以D为原点建立如图所示空间直角坐标系，则A(4,0,0)，C(0,4,0)，B(4,4,0)，C1(0,4,2)，∴＝(－4,4,0)，＝(－4,0,2)，易知为平面DBB1D1的一个法向量，设BC1与平面DBB1D1的夹角为α，则sinα＝

8、cos〈，〉

9、＝＝，选C.答案：　C4．平面α的一个法向量为n1＝(4,3,0)，平面β的一个法向量为n2＝(0，－3,4)，则平面α与平面β夹角的余弦值为(　　)A．－B.C.D．以上都不对解析：　cos〈n1，n2〉＝＝－，∴平面α与平面β夹角的余弦值为.故选B.

10、答案：　B二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别是正方形A1B1C1D1和ADD1A1的中心，则EF和CD所成的角是________．解析：　以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴的非负半轴建立空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则E，F，E＝，D＝(0,1,0)，所以cos〈E，D〉＝＝－，所以〈E，D〉＝135°，所以异面直线EF和CD所成的角是45°.答案：　45°6．已知平面α过定点A(1,2,1)，且法向量为n＝(1，－1,

11、1)．已知平面外一点P(－1，－5，－1)，求PA与平面α所成角的正弦值________．解析：　P＝(2,7,2)，则cos〈P，n〉＝＝＝－.设PA与平面α所成角为θ，则sinθ＝

12、cos〈P，n〉

13、＝.答案：　三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线BA1和AC的夹角．解析：　方法一：因为＝B＋，A＝A＋B，所以·A＝(B＋)·(A＋B)＝B·A＋B·B＋·A＋·B.因为AB⊥BC，BB1⊥AB，BB1⊥BC，所以B·B＝0，·A＝0，·B

14、＝0，B·A＝－a2，所以·A＝－a2.又cos〈，A〉＝＝＝－，所以〈，A〉＝120°，所以异面直线BA1和AC的夹角为60°.方法二：分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(a,0,0)，B(a，a,0)，C(0，a,0)，A1(a,0，a)．∴＝(0，－a，a)，A＝(－a，a,0)．∴cos〈，A〉＝＝＝－.∴〈，A〉＝120°.∴异面直线BA1和AC的夹角为60°.8．在底面是直角梯形的四棱锥S－ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥面ABCD，SA＝A

15、B＝BC＝1，AD＝，求平面SCD与平面SBA夹角的正切值．解析：　建立如图所示空间直角坐标系，则A(0,0,0)、D、C(1,1,0)、S(0,0,1)，易知平面SAB的一个法向量是＝.设n＝(x，y，z)是平面SCD的法向量，则n⊥，n⊥，即n·＝0，n·＝0，又＝，＝，∴x＋y＝0，且－x＋z＝0.∴y＝－x，且z＝x.∴n＝.取x＝1，得n＝.∴cos〈，n〉＝＝＝.设两平面夹角为θ，即cosθ＝，∴tanθ＝.☆☆☆9.(10分)如图，在三棱锥V－ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB

16、的中点，且AC＝BC＝a，∠VDC＝θ.(1)求证：平面VAB⊥平面VCD；(2)试确定角θ的值，使得直线BC与平面VAB的夹角为.解析：　(1)证明：以C为原点．以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，D，V，于是，＝，＝，＝(－a，a,0)．从而·＝(－a，a,0)·＝－a2＋a2＋0＝0，即AB⊥