2018_2019学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.2空间向量的运算课时作业北师大版

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1、2.2空间向量的运算[基础达标]如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　)A．－a＋b＋cB．a＋b＋cC．－a－b＋cD．a－b＋c解析：选A.∵＝(a＋b)，∴＝＋＋＝－a＋c＋(a＋b)＝－a＋b＋c.已知空间向量a，b，c两两夹角为60°，其模都为1，则

2、a－b＋2c

3、＝(　　)A.B．5C．6D．解析：选A.∵

4、a

5、＝

6、b

7、＝

8、c

9、＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴

10、a－b＋2c

11、2＝a2＋b2＋4c2－2a·b－4b·c＋4a·c＝5，∴

12、a－b＋2c

13、＝.设空

14、间四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　)A．点P一定在直线AB上B．点P一定不在直线AB上C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上D.与的方向一定相同解析：选A.∵n＝1－m，∴＝m＋(1－m)＝m＋－m，即－＝m(－)，∴＝m，选A.已知四边形ABCD满足：·＞0，·＞0，·＞0，·＞0，则该四边形为(　　)A．平行四边形B．梯形C．平面四边形D．空间四边形解析：选D.∵·＞0，∴〈，〉为锐角，∴∠B为钝角，同理可得∠C，∠D，∠A均为钝角，则有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＞360°.∴该四边形为空间四边形．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝BC

15、＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是(　　)A．45°B．60°C．90°D．120°解析：选B.令＝a，＝b，＝c，则

16、a

17、＝

18、b

19、＝

20、c

21、＝m(m＞0)，a·b＝b·c＝c·a＝0，＝(c－a)，＝b＋c，又

22、

23、＝m，

24、

25、＝m，∴cos〈，〉＝＝＝，∴直线EF和BC1所成的角为60°.化简(－)－(－)＝________．解析：法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算)(－)－(－)＝－－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝0.法二：(利用向量的减法运算法则求解)(－)－(－)＝(－)＋－＝＋－＝－＝0.答案：0设e1，e2是空间两个

26、不共线的向量，若＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝________．解析：＝＋＝－＝6(e1＋e2)，∵A、B、D三点共线，可令＝λ，即e1＋ke2＝6λ(e1＋e2)，又e1，e2不共线，故有，∴k＝1.答案：1如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AA1＝3，∠BAA1＝60°，E为棱C1D1的中点，则·＝________．解析：＝＋＋，·＝·＋·＋2＝4×3×cos60°＋0＋×42＝14.答案：14已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外一点O，在下列条件下，判断点P是否与A，B，C三点

27、共面．(1)＝＋＋；(2)＝2－2－.解：(1)＝＋＋＝＋(＋)＋(＋)＝＋＋，即＝＋＋，＝＋，所以点P与A，B，C三点共面．(2)＝2－2－＝2－2(＋)－(＋)＝－2－－，即＝－－2－，而不能由和表示，所以不能把OP化为＝＋x＋y的形式，所以点P不与A，B，C三点共面．如图所示，四边形ABCD、ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．解：∵M、N分别是AC、BF的中点，且四边形ABCD、ABEF都是平行边形，∴＝＋＋＝＋＋.又∵＝＋＋＋＝－＋－－，∴＋＋＝－＋－－.∴＝＋2＋＝2(＋＋)．∴＝2.∴∥，即与共线．[能力提升]已知在空间四

28、边形OABC中(如图所示)，OA⊥BC，OB⊥AC，则OC和AB所成的角为(　　)A．45°B．60°C．30°D．90°解析：选D.由已知得⊥，⊥，∴·＝0，·＝0，∴·(－)＝0，·(－)＝0，∴·＝·，·＝·，∴·－·＝0，(－)·＝0，·＝0，∴⊥，即OC和AB成90°角．已知向量a，b满足

29、a

30、＝

31、b

32、＝

33、a＋b

34、＝1，则向量a，b的夹角为________．解析：∵

35、a

36、＝

37、b

38、＝

39、a＋b

40、＝1，∴1＝

41、a＋b

42、2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝－，∴a，b的夹角为120°.答案：120°如图，在平行四边形ABCD中，

43、AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、D间的距离．解：∵∠ACD＝90°，∴·＝0.同理，·＝0.∵AB与CD成60°角，∴〈，〉＝60°或120°.∵＝＋＋，∴

44、

45、2＝

46、

47、2＋

48、

49、2＋

50、

51、2＋2·＋2·＋2·＝

52、

53、2＋

54、

55、2＋

56、

57、2＋2·＝3＋2·1·1·cos〈，〉＝∴

58、

59、＝2或，即B、D间的距离为2或.4.如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，(1)求证：MN⊥CD；(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平