2018_2019学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.2空间向量的运算训练案北师大版

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1、2.2空间向量的运算[A.基础达标]1．已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则等于(　　)A．2－　　　　　　　B．－＋2C.－D．－＋解析：选A.因为2＋＝0，所以＝－2＝2，所以＋＝2，故＝2－.2．设空间四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(　　)A．点P一定在直线AB上B．点P一定不在直线AB上C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上D.与的方向一定相同解析：选A.因为n＝1－m，所以＝m＋(1－m)＝m＋－m，即－＝m(－)，所以＝m，故选A.3．对

2、空间任一点O和不共线三点A，B，C，能得到P，A，B，C四点共面的是(　　)A.＝＋＋B.＝＋＋C.＝－＋＋D．以上都不对解析：选B.若P，A，B，C四点共面，满足向量关系式＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)．因为＋＋＝1，故选B.4．已知四边形ABCD满足：·＞0，·＞0，·＞0，·＞0，则该四边形为(　　)A．平行四边形B．梯形C．平面四边形D．空间四边形解析：选D.因为·＞0，所以〈，〉为锐角，所以∠B为钝角，同理可得∠C，∠D，∠A均为钝角，则有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＞360°.所以该四边形为空间四边

3、形．5.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是(　　)A．45°B．60°C．90°D．120°解析：选B.令＝a，＝b，＝c，则

4、a

5、＝

6、b

7、＝

8、c

9、＝m(m＞0)，a·b＝b·c＝c·a＝0，＝(c－a)，＝b＋c，又

10、

11、＝m，

12、

13、＝m，所以cos〈，〉＝＝＝，所以直线EF和BC1所成的角为60°.6．化简(－)－(－)＝________．解析：法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算)(－)－(－)＝－

14、－＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝0.法二：(利用向量的减法运算法则求解)(－)－(－)＝(－)＋－＝＋－＝－＝0.答案：07．设e1，e2是空间两个不共线的向量，若＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝________．解析：＝＋＝－＝6(e1＋e2)，因为A、B、D三点共线，可令＝λ，即e1＋ke2＝6λ(e1＋e2)，又e1，e2不共线，故有，所以k＝1.答案：18．如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AA1＝3，∠BAA1＝60°，

15、E为棱C1D1的中点，则·＝________．解析：＝＋＋，·＝·＋·＋2＝4×3×cos60°＋0＋×42＝14.答案：149.如图所示，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.求证：CC1⊥BD.证明：设＝a，＝b，＝c，则

16、a

17、＝

18、b

19、.因为＝－＝b－a，所以·＝(b－a)·c＝b·c－a·c＝

20、b

21、

22、c

23、cos60°－

24、a

25、

26、c

27、cos60°＝0，所以⊥，即CC1⊥BD.10.如图所示，四边形ABCD、ABEF都是平行四边形且不共面，M

28、，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．解：因为M、N分别是AC、BF的中点，且四边形ABCD、ABEF都是平行四边形，所以＝＋＋＝＋＋.又因为＝＋＋＋＝－＋－－，所以＋＋＝－＋－－.所以＝＋2＋＝2(＋＋)．所以＝2.所以∥，即与共线．[B.能力提升]1．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R，且λμ≠0)，则(　　)A．m∥nB．m⊥nC．m，n既不平行也不垂直D．以上三种情况都可能解析：选B.因为m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0，所以m⊥n.2．下列命题：①若A，

29、B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；②

30、a

31、－

32、b

33、＝

34、a＋b

35、是a，b共线的充要条件；③若a，b共线，则a与b所在直线平行；④对空间任意一点P与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．其中不正确命题的个数是(　　)A．1B．2C．3D．4解析：选C.对于①：＋＋＋＝＋＋＝＋＝0，故①正确；对于②：当

36、a

37、<

38、b

39、时，

40、a＋b

41、>0，而

42、a

43、－

44、b

45、<0，故②不正确；对于③：a和b共线，a和b所在直线平行或重合，故③不正确；对于④：若＝x＋y＋z(x＋y＋z＝

46、1)，则P，A，B，C四点共面，故④不正确．3．已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为________．解析：设＝a，＝b，＝c，

47、a

48、＝

49、b

50、＝

51、c

52、＝1.＝＋＋＝a＋b＋c.

53、

54、＝＝＝＝.答案：4.已知在空间四边形OABC中(如图所示)，OA⊥BC，OB⊥AC，则OC和AB所成的角为_______