2018_2019学年高中数学第二章空间向量与立体几何2.1从平面向量到空间向量训练案北师大版

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1、2.1从平面向量到空间向量[A.基础达标]1．下列说法正确的是(　　)A．如果两个向量不相等，那么它们的长度不相等B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小C．向量模的大小与方向有关D．向量的模可以比较大小解析：选D.两个向量不相等，但它们的长度可能相等，A不正确．任何两个向量，不论同向还是不同向均不存在大小关系，B不正确．向量模的大小只与其长度有关，与方向没有关系，故C不正确．由于向量的模是一个实数，故可以比较大小，只有D正确．2.如图，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量相等的是(　　)A.与B.与C.与D.与解析：选D.因为＝，所以四边形ABCD为平行四边形．所以＝，

2、＝，＝.3．在四边形ABCD中，若＝，且

3、

4、＝

5、

6、，则四边形ABCD为(　　)A．菱形　　　　　　　　　　B．矩形C．正方形D．不确定解析：选B.若＝，则AB＝DC，且AB∥DC，所以四边形ABCD为平行四边形．又

7、

8、＝

9、

10、，即AC＝BD，所以四边形ABCD为矩形．4．下列有关平面法向量的说法中，不正确的是(　　)A．平面α的法向量垂直于与平面α平行的所有向量B．一个平面的所有法向量互相平行C．如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D．如果a，b与平面α平行，则a∥b解析：选D.依据平面向量的概念可知A，B，C都是正确的．由立体几何知识可得a，b不一定平行．5.在正四面体A-BCD

11、中，如图，〈，〉等于(　　)A．45°　　　　　　　　　B．60°C．90°D．120°解析：选D.两个向量夹角的顶点是它们共同的起点，故应把向量的起点平移到A点处，再求夹角得〈，〉＝120°，故选D.6．在正四面体A-BCD中，O为平面BCD的中心，连接AO，则是平面BCD的一个________向量．解析：由于A-BCD是正四面体，易知AO⊥平面BCD，所以是平面BCD的一个法向量．答案：法7.如图在平行六面体AG中，①与；②与；③与；④与，四对向量中不是共线向量的序号为________．解析：因为＝，所以与共线，其他三对均不共线．答案：②③④8.如图，棱长都相等的平行六面体ABCDA1

12、B1C1D1中，已知∠A1AB＝60°，则〈，〉＝________；〈，〉＝______；〈，〉＝________．解析：在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，∥，且方向相同，所以〈，〉＝0°；因为AB∥CD，CD∥C1D1，所以AB∥C1D1，所以∥，但方向相反，所以〈，〉＝180°；因为＝，所以〈，〉＝〈，〉＝180°－∠A1AB＝120°.答案：0°　180°　120°9.如图所示是棱长为1的正三棱柱ABC-A1B1C1.(1)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出与向量相等的向量；(2)在分别以正三棱柱的任意两个顶点为起点和终点的向量中，写出向量的相反向量；(3

13、)若E是BB1的中点，写出与向量平行的向量．解：(1)由正三棱柱的结构特征知与相等的向量只有向量.(2)向量的相反向量为，.(3)取AA1的中点F，连接B1F(图略)，则，，都是与平行的向量．10．如图，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC都是等边三角形，∠BAC＝90°，O是BC的中点，证明：是平面ABC的一个法向量．证明：由题意知，侧面SAB与侧面SAC都是等边三角形，故设SA＝SB＝SC＝a，因为O是BC的中点，SB＝SC，所以SO⊥BC.因为∠BAC＝90°，AB＝AC＝a，AO⊥BC，所以AO＝a.又SO＝a，SA＝a，所以△ASO是等腰直角三角形，即SO⊥OA.又OA∩B

14、C＝O，所以SO⊥平面ABC，所以是平面ABC的一个法向量．[B.能力提升]1．空间两向量a，b互为相反向量，已知向量

15、b

16、＝3，则下列结论正确的是(　　)A．a＝bB．

17、a

18、＝－

19、b

20、C．a与b方向相同D．

21、a

22、＝3解析：选D.a与b互为相反向量，即a与b方向相反且

23、a

24、＝

25、b

26、.2．在直三棱柱ABCA′B′C′中，已知AB＝5，AC＝3，BC＝4，CC′＝4，则以三棱柱的顶点为向量的起点和终点的向量中模为5的向量的个数为(　　)A．2B．4C．8D．10解析：选C.向量，，，及它们的相反向量的模都等于5，共有8个．3.如图，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝A

27、C，则在向量，，，，，中，夹角为90°的共有________对．解析：因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，平面PAB⊥平面ABC.又平面PAB∩平面ABC＝AB，BC⊥AB，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB.由此知〈，〉，〈，〉，〈，〉，〈，〉，〈，〉都为90°.答案：54．下列命题中，真命题有________个．①若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；