高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.1 从平面向量到空间向量学案 北师大版选修.doc

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1、2.1从平面向量到空间向量1．了解空间向量的有关概念．(重点)2．理解直线的方向向量和平面的法向量．(难点)3．会求简单空间向量的夹角．(易混点)[基础·初探]教材整理1　空间向量的概念阅读教材P25“向量概念”的部分，完成下列问题．定义在空间中，既有大小又有方向的量，叫作空间向量表示方法①用有向线段表示，A叫作向量的起点，B叫作向量的终点自由向量数学中所讨论的向量与向量的起点无关，称之为自由向量长度或模与平面向量一样，空间向量或a的大小也叫作向量的长度或模，用

2、

3、或

4、a

5、表示夹角定义如图，两非零向量a，b，过空间中任意

6、一点O，作向量a，b的相等向量和，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉范围规定0≤〈a，b〉≤π向量垂直当〈a，b〉＝时，向量a与b垂直，记作a⊥b向量平行当〈a，b〉＝0或π时，向量a与b平行，记作a∥b判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)0向量是长度为0，没有方向的向量．(　　)(2)向量a与向量b的大小相等则a＝b.(　　)(3)若向量a与向量b方向相反，则a与b是平行向量．(　　)【解析】　(1)0向量的方向是任意的．(2)a＝b需满足两个条件，一是大小相等，二是方向相同．(3)相反向量也是平行

7、向量．【答案】　(1)×　(2)×　(3)√教材整理2　向量与直线阅读教材P26“向量与直线”的部分，完成下列问题．设l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线的方向向量，与平行的任意非零向量a也是直线的方向向量．正方体ABCDA1B1C1D1中，以顶点为端点的向量中，可以作为直线AC的方向向量的有哪些？【解】　∵A1C1∥AC，∴直线AC的方向向量有、、、教材整理3　向量与平面阅读教材P26“向量与平面”的部分，完成下列问题．如果直线l垂直于平面α，那么把直线l的方向向量a叫作平面α的法向量．平面的法向量与平

8、面中任意一个向量的夹角是________．【解析】　平面的法向量垂直于平面中任意向量，故夹角为90°.【答案】　90°[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：________________________________________________________解惑：________________________________________________________疑问2：______________________________________________

9、__________解惑：________________________________________________________疑问3：________________________________________________________解惑：________________________________________________[小组合作型]空间向量的有关概念　(1)在如图211所示的平行六面体ABCDA1B1C1D1中，与向量相等的向量有________个(不含)．图211【自主解答】　与

10、向量相等的向量为：，，共有3个．【答案】　3(2)下列说法中，正确的是(　　)A．两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同B．若非零向量和是共线向量，则A，B，C，D四点共线C．若a∥b，b∥c，则a∥cD．零向量与任意向量平行【自主解答】　A项错，因为两个向量起点相同，且是相等的向量，所以终点必相同．B项错，若和共线，则和的基线平行或重合，所以A，B，C，D不一定在同一条直线上．C项错，若b＝0，a∥0，0∥c，则a与c不一定平行，D项正确．【答案】　D(3)在长方体ABCDA1B1C1D1中，以顶点为起止点的向量中

11、，与向量平行的向量为________，与相反的向量为________．【自主解答】　∵AB∥A1B1∥DC∥D1C1，∴与平行的向量为，，，，，，其中与相反的向量为：，，，【答案】　，，，，，，　，，，1．在空间中，向量的模、相等向量、相反向量等概念和平面向量中相对应的概念完全一样．2．注意区别向量、向量的模、线段、线段的长度等概念．直线的方向向量与平面的法向量　如图212，正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB的方向向量有哪些？(2)在所有棱所在的向量中，写出平面ABCD的所有法

12、向量．【导学号：】图212【精彩点拨】　根据方向向量与法向量的定义直接写出即可．【自主解答】　(1)直线AB的方向向量有：，，，，，，，.(2)平面ABCD的法向量，就是与平面ABCD垂直的棱所在的向量，即，，，，，，，.1．直线的方向向量就是与直线平行的非零向量对模没有限制，注意起点和终点都在直线上的向量也是符合题