2.1《从平面向量到空间向量

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1、一、选择题（每题5分，共15分）1.在空间向量中，下列说法正确的是()(A)如果两个向量的长度相等，那么这两个向量相等(B)如果两个向量平行，那么这两个向量的方向相同(C)如果两个向量平行并且它们的模相等，那么这两个向量相等(D)同向且等长的有向线段表示同一向量【解析】选D.选项A与选项C中两向量方向不一定相同，故两向量不一定相等；向量平行但方向不一定相同，故B错误，因此选D.【解题提示】根据命题逐一判断,同时要注意向量的方向性.【解析】选C.根据向量相等的定义，要保证两向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同.根据正方体的性质，在正方体ABCD—A1

2、B1C1D1中，向量与的方向相同，模也相等，所以=，故①正确；命题②显然正确；对于命题③，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同，故不一定相等，故③错误.3.在棱长为的正方体ABCD—A1B1C1D1中，所有棱及面对角线中能表示单位向量的有向线段共有()(A)12条(B)16条(C)18条(D)24条【解析】选D.棱长为的正方体的面对角线长度为1，它们对应的有向线段可以表示单位向量，正方体的面对角线有12条，考虑方向共有24条有向线段.二、填空题（每题5分，共10分）4.如图所示，在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中能作为直线AA′的方

3、向向量的有______个.答案：【解析】答案：【解析】三、解答题（6题12分，7题13分，共25分）6.在正方体ABCD—A1B1C1D1的所有棱、面对角线、体对角线所对应的向量中，（1）试给出平面A1B1CD的两个法向量；（2）向量C1C与AD1的夹角是多少？【解题提示】求平面的法向量的题目一般是求与平面内的两条不共线的向量都垂直的向量.【解析】7.在空间四边形ABCD中，已知BC=AC，AD=BD，作BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H，求证：AH是平面BCD的一个法向量.【证明】取AB中点F，连接CF、DF、AE，∵AC=BC，∴CF⊥AB.又

4、∵AD=BD，∴DF⊥AB，∴AB⊥平面CDF.又CD在平面CDF内，∴CD⊥AB.又CD⊥BE，∴CD⊥平面ABE，∴CD⊥AH.又AH⊥BE，∴AH⊥平面BCD.故AH是平面BCD的一个法向量.1.(5分)如图，四棱锥E—ABCD中，EA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且EA=AD，F、G、H、I分别是所在边上的中点，则过点A作平面CDE的一个法向量是()【解析】选A.因为EA⊥平面ABCD，所以EA⊥CD，又四边形ABCD为正方形，所以AD⊥CD，所以CD⊥平面EAD，又AI在平面EAD内，所以CD⊥AI，在等腰三角形EAD中，I是ED的

5、中点，所以AI⊥ED，所以AI⊥平面CDE.因此AI是平面ECD的法向量.2.（5分）记“一个平面和它的一个法向量”为一个“垂直对”，那么，在正方体中，由正方体的四个顶点围成的面，由两个顶点对应的向量（AB与BA只记一次）中，共可以组成“垂直对”()（A）12个(B)24个(C)36个(D)48个【解析】选C.首先正方体每个面与其对应成垂直的四条棱可组成4个垂直对，正方体共6个面，可组成24个垂直对；其次正方体的对角面与其对应垂直的两条面对角线可组成2个垂直对，正方体共有6个对角面，可组成12个垂直对，总共有36个“垂直对”.3.(5分)在平行六面体A

6、BCD—A′B′C′D′中，与向量BA相等的向量是_______；与BC′平行的向量是_______.【解析】CD是与BA长度相等，方向相同的向量，AD′是与BC′方向相同的向量答案：CDAD′(答案不唯一)4.(15分)已知：如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEFG所截而得的，其中AD=1，BE=3，CF=4，求〈EF,AD〉.【解析】