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《高中数学 第二章 空间向量与立体几何 2.5 夹角的计算学案 北师大版选修.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.5夹角的计算2.5.1 直线间的夹角2.5.2 平面间的夹角2.5.3 直线与平面的夹角1.能用向量方法解决线线、线面、面面夹角的计算问题.(重点)2.体会向量方法在研究立体几何问题中的作用.(难点)[基础·初探]教材整理1 直线间的夹角阅读教材P43“例1”以上的部分,完成下列问题.设直线l1与l2的方向向量分别为s1,s2.已知向量a=(-1,-1,0),b=(-1,0,-1),则向量a与b的夹角是( )A. B.πC.D.【解析】 cos〈a,b〉===,∴〈a,b〉=.【答
2、案】 A教材整理2 平面间的夹角阅读教材P44“例2”以上的部分,完成下列问题.(1)平面间夹角的概念如图251,平面π1和π2相交于直线l,点R为直线l上任意一点,过点R,在平面π1上作直线l1⊥l,在平面π2上作直线l2⊥l,则l1∩l2=R,我们把直线l1和l2的夹角叫作平面π1与π2的夹角.图251(2)平面间夹角的求法设平面π1与π2的法向量分别为n1与n2.当0≤〈n1,n2〉≤时,平面π1与π2的夹角等于〈n1,n2〉;当<〈n1,n2〉≤π时,平面π1与π2的夹角等于π-〈n1,n
3、2〉.事实上,设平面π1与平面π2的夹角为θ,则cosθ=
4、cos〈n1,n2〉
5、.已知平面α的法向量为n1=(1,1,1),平面β的法向量是n2=.求平面α与平面β的夹角.【解】 cos〈n1,n2〉====-,∴〈n1,n2〉=120°,∴平面α与平面β的夹角为60°.教材整理3 直线与平面的夹角阅读教材P45“思考交流”以上的部分,完成下列问题.设直线l的方向向量为s,平面α的法向量为n,直线l与平面α的夹角为θ.若直线的方向向量为u1=(1,1,1),平面的法向量为u2=(2,2,2),则
6、直线与平面所成角的正弦值为________.【解析】 ∵u2=2u1,∴u1∥u2,∴u1与平面垂直,所成角的正弦值为1.【答案】 1[质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:________________________________________________________解惑:________________________________________________________疑问2:__________________________
7、______________________________解惑:________________________________________________________疑问3:________________________________________________________解惑:________________________________________________[小组合作型]直线间的夹角 如图252所示,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是一直角梯形,∠BAD=
8、90°,AD∥BC,AB=BC=a,AD=2a,且PA⊥底面ABCD,∠PDA=30°,AE⊥PD,E为垂足.图252(1)求证:BE⊥PD;(2)求异面直线AE与CD夹角的余弦值.【精彩点拨】 要证明两直线垂直,或求两直线的夹角,只要适当地建立空间直角坐标系,求出两直线对应的方向向量,然后借助于这两个向量的数量积公式即可求得.【自主解答】 以A为原点,AB,AD,AP所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,2a,0).又∵∠P
9、DA=30°,∴AP=AD·tan30°=2a·=a,AE=AD·sin30°=2a·=a.过E作EF⊥AD,垂足为F,在Rt△AFE中,AE=a,∠EAF=60°,∴AF=,EF=a.∴P,E.(1)证明:=,=,∴·=0+a2-a2=0.∴⊥,∴BE⊥PD.(2)=,=(-a,a,0).则cos〈,〉===,即AE与CD的夹角的余弦值为.1.建立恰当的空间直角坐标系,准确求出相关点的坐标是解决这类题的关键.2.求线线夹角时,应注意线线夹角范围为,所以若求得余弦值为负数,则线线夹角为其补角.[再
10、练一题]1.已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AA1=2AB,E是AA1的中点,则异面直线D1C与BE所成角的余弦值为( )【导学号:】A. B.C.D.【解析】 建系如图,设AA1=2AB=2.则B(1,1,0),C(0,1,0)D1(0,0,2),E(1,0,1).∴=(0,1,0)-(0,0,2)=(0,1,-2).=(1,0,1)-(1,1,0)=(0,-1,1).cos〈,〉===-∴异面直线D1C与BE所成角的余弦值为.【答案】 B平面间的夹角 如图25