2017届高三数学文理通用一轮复习课件：7.6 数学归纳法.ppt

《2017届高三数学文理通用一轮复习课件：7.6 数学归纳法.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、7.6数学归纳法2知识梳理双击自测数学归纳法一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=时命题也成立.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫做数学归纳法.k+13知识梳理双击自测234151.下列结论正确的画“√”,错误的画“×”.(1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当n=1时结论成立.()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明.()(3)用数学归纳

2、法证明问题时,归纳假设可以不用.()(4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由n=k到n=k+1时,项数都增加了一项.()××××4知识梳理双击自测23415√√√5知识梳理双击自测234152.用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)的过程中,第二步假设当n=k(k∈N*)时等式成立,则当n=k+1时应得到()D解析:由条件知,等式的左边从20,21,…一直到2n-1都是连续的,则当n=k+1时,等式为1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k.6知识梳理双击自测23415C7知识梳理双击自测234158知识梳理双击自测2

3、31455.(2015河北唐山一中调研)用数学归纳法证明:(n+1)·(n+2)·…·(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*)时,从“n=k到n=k+1”时,左边应增添的代数式为.2(2k+1)解析:当n=k+1时左边应为[(k+1)+1][(k+1)+2]·…·[(k+1)+k-1]·[(k+1)+k][(k+1)+(k+1)]=(k+2)(k+3)·…·(k+k)(2k+1)(2k+2),即从“n=k到n=k+1”时,左边应添乘的式子是9考点一考点二考点三用数学归纳法证明等式求证:(n+1)(n+2)·…·(n+n)=2n·1·3·5·…·(2

4、n-1)(n∈N*).证明:(1)当n=1时,等式左边=2,右边=2,等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,即(k+1)(k+2)·…·(k+k)=2k·1·3·5·…·(2k-1),那么,当n=k+1时,左边=(k+1+1)(k+1+2)·…·(k+1+k+1)=(k+2)(k+3)·…·(k+k)(2k+1)(2k+2)=2k·1·3·5·…·(2k-1)·(2k+1)·2=·…·(2k-1)·(2k+1),即当n=k+1时等式也成立.根据(1)和(2),可知等式对所有n∈N*都成立.10考点一考点二考点三方法总结1.用数学归纳法证明等式问题,

5、要弄清等式两边的构成规律,等式两边各有多少项,初始值n0是多少.2.由当n=k时等式成立,推出当n=k+1时等式成立.一要找出等式两边的变化(差异),明确变形目标;二要充分利用归纳假设,进行合理变形,正确写出证明过程.3.变形常用的方法:(1)因式分解;(2)添拆项;(3)配方法.11考点一考点二考点三用数学归纳法证明不等式例题(2015陕西高考)设fn(x)是等比数列1,x,x2,…,xn的各项和,其中x>0,n∈N,n≥2.(2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列,其各项和为gn(x),比较fn(x)和gn(x)的大小,并加以证明.1

6、2考点一考点二考点三13考点一考点二考点三14考点一考点二考点三15考点一考点二考点三16考点一考点二考点三17考点一考点二考点三所以mk(x)>mk(1)=0.所以当m>0且m≠1时,ak>bk(2≤k≤n),又a1=b1,an+1=bn+1,故fn(x)

7、可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.19考点一考点二考点三20考点一考点二考点三21考点一考点二考点三归纳—猜想—证明22考点一考点二考点三23考点一考点二考点三解题心得“归纳——猜想——证明”的模式,是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式.其一般思路是:通过观察有限个特例,猜想出一般性的结论,然后用数学归纳法证明.这种方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题中有着广泛的应用.24考点一考点二考点三解:∵f'(x)=x2-1,an+1≥f'(an+1),∴an+1≥(an+1)2-1.∵函数g(x)=(x+1)2-1=x2+

8、2x在区间[1,+∞)内