2018年高考数学一轮复习专题7.6数学归纳法（讲）

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1、第06节数学归纳法【考纲解读】考点考纲内容五年统计分析预测数学归纳法了解数学归纳原理，会用数学归纳法证明简单的数学命题.2017浙江22利用数学归纳法证明数列问题.备考重点：1.数学归纳法原理；2.数学归纳法的简单应用.【知识清单】数学归纳法1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．2.数学归纳法的框图表示对点练习【2018届浙江省温州市

2、高三9月一模】已知数列中，，（）．　（1）求证：；（2）求证：是等差数列；（3）设，记数列的前项和为，求证：．【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.试题解析：（1）证明：当时，，满足，假设当（）时，，则当时，，即时，满足；所以，当时，都有．（2）由，得，所以，即，即，所以，数列是等差数列．（3）由（2）知，，∴，因此，当时，，即时，，所以时，，显然，只需证明，即可．当时，．【考点深度剖析】数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要体现在证明等式、证明不等式、证明整除性问题、归纳猜想证明等．浙江对数学归纳法的考查主要是与数列相结合.【重点难点突破】

3、考点1利用数学归纳法证明等式【1-1】．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边计算所得的式子为(　)A.1B.1＋2C.1＋2＋22D.1＋2＋22＋23【答案】D【解析】左边的指数从0开始，依次加1，直到n＋2，所以当n＝1时，应加到23，故选D.【1-2】观察下列等式：；；；；………（1）照此规律，归纳猜想出第个等式；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.【答案】（1）（）；（2）见解析.试题解析：（1）第个等式为（）；（2）用数学归纳法证明：①当时，等式显然成立；②假设当（）时，等式成立，即则当时，所以当时，等式成立.由①

4、②知，（）【领悟技法】数学归纳法证明等式的思路和注意点(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．【触类旁通】【变式一】观察下列等式：；；；；，…………(1)猜想第个等式；(2)用数学归纳法证明你的猜想.【答案】(1).(2)答案见解析.试题解析：(1).(2)证明：(i)当时，等式显然成立.(ii)假设

5、时等式成立，即，即.那么当时，左边，右边.所以当时，等式也成立.综上所述，等式对任意都成立.【变式二】已知数列中，，（Ⅰ）求；（Ⅱ）猜想的表达式，并用数学归纳法证明．【答案】(I）；（II）见解析.【解析】试题分析：（1）由已知直接求出的值；（2）猜想，注意数学归纳法的步骤。试题解析：(1）；（2）猜想：证明：①当n=1时，，猜想成立.②假设n=k时成立，即，则当n=k+1时，由得所以n=k+1时，等式成立.所以由①②知猜想成立.考点2利用数学归纳法证明不等式【2-1】【．用数学归纳法证明（，）成立时，第二步归纳假设的正确写法为（）A.假设时，命题成立B.假设（）时，命

6、题成立C.假设（）时，命题成立D.假设（）时，命题成立【答案】C【2-2】【2017浙江卷22】已知数列满足：证明：当时（I）;（II）；(III)【答案】（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析.【解析】试题分析：（Ⅰ）用数学归纳法可证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，构造函数，利用函数的单调性可证；（Ⅲ）由及，递推可得那么n=k+1时，若，则，矛盾，故．因此．所以，因此．（Ⅱ）由得，．记函数，，函数f(x)在[0，+∞）上单调递增，所以=0，因此，故．（Ⅲ）因为，所以，由，得，所以，故．综上，．【领悟技法】数学归纳法证明不等式的适用范围及关键(1)适用范围：当遇到与正整数n

7、有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化【触类旁通】【变式一】设正项数列的前项和，且满足.（Ⅰ）计算的值，猜想的通项公式，并证明你的结论；（Ⅱ）设是数列的前项和，证明：.【答案】(1)（2）见解析试题解析：（Ⅰ）解：当n=1时，，得；，得；，得.猜想证明：（ⅰ）当n=1时，显然成立.（ⅱ）假设当n=k时，则当n=k+1时，结合，解得于是