多元函数微分学的几何应用

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1、一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线§86多元函数微分学的几何应用上页下页铃结束返回首页一、空间曲线的切线与法平面下页设空间曲线的参数方程为x(t),y(t),z(t),这里假定(t),(t),(t)都在[]上可导设tt0和tt0t分别对应于曲线上的点M0(x0,y0,z0)和M(x0+x,y0+y,z0+z)当MM0,即t0时,作曲线的割线MM0,其方程为得曲线在点M0处的切线方程为设空间曲线的参数方程为x(t),y(t),z

2、(t),这里假定(t),(t),(t)都在[]上可导过曲线上tt0所对应的点M0切线方程为向量T(j(t0),y(t0),w(t0))称为曲线在点M0的切向量.通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线在点M0处的法平面,其法平面方程为j(t0)(xx0)y(t0)(yy0)w(t0)(zz0)0.下页一、空间曲线的切线与法平面解xt1,点(1,1,1)所对应的参数t1.因为zt3t2,yt2t,于是,切线方程为所以切向量为T=(1,2,3).法平面

3、方程为即x2y3z6.(x1)2(y1)3(z1)0,下页例1求曲线xt,yt2,zt3在点(1,1,1)处的切线及法平面方程曲线x(t),y(t),z(t)在tt0所对应的点M0的切向量为T(j(t0),y(t0),w(t0)).讨论:1.若曲线的方程为yj(x),zy(x),则切向量T?提示:1.曲线的参数方程可视为:xx,yj(x),zy(x),切向量为T(1,j(x),y(x)).下页曲线x(t),y(t),z(t)在t

4、t0所对应的点M0的切向量为T(j(t0),y(t0),w(t0)).2.若曲线的方程为F(x,y,z)0,G(x,y,z)0,则切向量T?2.两方程可确定两个隐函数:yj(x),zy(x).切向量为T(1,j(x),y(x)),而j(x),y(x)要通过解方程组得到.>>>例2求曲线x2y2z26,xyz0在点(1,2,1)处的切线及法平面方程.解方程组在点(1,2,1)处化为为求切向量,将所给方程的两边对x求导数,得所求切线方程为从而T={1,0,-1}.

5、法平面方程为(x1)0(y2)(z1)0,即xz0.首页二、曲面的切平面与法线因为曲线在曲面上,所以有F[(t),y(t),w(t)]0.向量n(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))与曲线上点M0处的切向量T(j(t0),y(t0),w(t0))是垂直的.Fx(x0,y0,z0)j(t0)Fy(x0,y0,z0)y(t0)Fz(x0,y0,z0)w(t0)0.等式的两边在tt0点求全导数得下页设M0(x0,y0,

6、z0)是曲面F(x,y,z)0上的一点,是曲面上过点M0的任意一条曲线,x(t),y(t),z(t),tt0对应于点M0(x0,y0,z0)其参数方程为二、曲面的切平面与法线向量n(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))与曲线上点M0处的切向量T(j(t0),y(t0),w(t0))是垂直的.设M0(x0,y0,z0)是曲面F(x,y,z)0上的一点,是曲面上过点M0的任意一条曲线,x(t),y(t),z(

7、t),tt0对应于点M0(x0,y0,z0)其参数方程为曲面上通过点M0的一切曲线在点M0的切线都在同一个平面上,这个平面称为曲面在点M0的切平面;通过点M0而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.曲面的切平面与法线下页曲面的切平面方程曲面在点M0(x0,y0,z0)的切平面方程为Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0.曲面的法线方程曲面通过点M0(x0,y0,z0)的法线方程为曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量称

8、为曲面的法向量.向量n(Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0))是曲面在点M0(x0,y0,z0)处的一个法向量.下页例3求球面x2y2z214在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.F(x,y,z)x2y2z214,解Fx2x,Fy2y,Fz2z,Fx(1,2,3)2,Fy(1,2,3)4,Fz(1,2,3)6.法向量为n=(2,4,6),法线方程为或n=(