多元函数微分学的几何应用(VI)

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1、§8.6多元函数微分学的几何应用一、空间曲线的切线和法平面定义设M是空间曲线L上的一个定点,M*是L上的一个动点,当M*沿曲线L趋于M时,割线MM*的极限位置MT（如果极限存在）称为曲线L在M处的切线下面我们来导出空间曲线的切线方程Ⅰ。设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.且导数不同时为零考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以曲线在M处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.法平面：过M0点且与切线垂直的平面.解Ⅱ。空间曲线方程取x为参数法平面方程为Ⅲ。空间曲线方程二、曲面的切平面与法线Ⅰ。设曲面方程为在曲面上任取一条通过点M的曲线切线方程为曲线在M()处的切向

2、量下面证明:此平面称为在该点的切平面.上过点M的任何曲线在该点的切线都在同一平面上.令证:在上,得由于曲线的任意性,表明这些切线都在以为法向量的平面上,从而切平面存在.切平面方程为法线方程为垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.曲面在M处的法向量即Ⅱ。空间曲面方程为令曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为因为曲面在M处的切平面方程为切平面上点的竖坐标的增量法向量将法向量的方向余弦：分别记为则用表示法向量的方向角,并假定法向量方向向上,例6在椭球面上求一点，使它的法线与坐标轴正向成等角解令则注意到法线与坐标轴正向的夹角相等故解得所求的点为的法线的方向向量为故椭球面上任一点

3、练习解设切点已知平面的法向量为切点满足曲面和平面方程依题意2)曲面的切平面与法线（求法向量的方向余弦时注意符号）三、小结1)空间曲线的切线与法平面（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）作业P45：2；3；4；5；8；9P73：10；11；12求曲线在点(1,1,1)的切线解:点(1,1,1)处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.备用题