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时间：2018-12-05
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1、第六节多元函数微分学的几何应用一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线一、空间曲线的切线与法平面1.设空间曲线的参数方程为：下面来求：按定义，切线是割线的极限位置。因此，上任取点我们在曲线附近的一点，设它对应于参数，即即对上式取极限，得方向向量切线的方向向量也称为曲线的切向量。过点M且与这点的切线垂直的平面由点法式得：点处的法平面方程为法平面：法平面即00设此方程组确定了用隐函数求导法，求出例1求曲线x=t,y=t2，z=t3在点(1,1,1)处的切线及法平面方程.解123即在点(1,−2,1)处的切线及法平面方程.解设方程组例2求曲线确定了等式两边
2、对x求导，得即解得===10即二、曲面的切平面与法线在曲面上，通过点M任意引一条曲线，设的参数方程为不全为0.则(*)(链锁法则)由链锁法则，得=(*)式变为=0(#)令又则(#)式可写为这表明：切平面的法向量为切平面的方程为++法线：法线的方程为即令则=即用隐函数求导法由前两式求出再由第三式得4、曲面的法向量的方向余弦若用表示曲面的法向量的方向角，假定法向量的方向向上，即为锐角.则法向量的方向余弦为:例3求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.解:，，即法线方程为即246例4求旋转抛物面在点(2,1,4)处的切平面及法线方程.解:法线方程为，==即4
3、2全微分的几何意义平面切平面曲面作业P100，4-8,10,12补充题：求曲面上对应点处的切平面及法线的方程。
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