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1、7.6多元函数微分学的几何应用7.6.1空间曲线的切线与法平面7.6.2曲面的切平面与法线7.6.1空间曲线的切线与法平面设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导.1曲面方程为参数式考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以割线的方程为曲线在M处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.法平面：过M点且与切线垂直的平面.例1及法平面方程.解切线方程为法平面方程为即应的参数t=1,所以空间曲线方程为法平面方程为2曲面方程为一般式切向量空间曲线方程为切线方程为法平面方程为切向量解例
2、2在点(1,1,1)处的切线方程与法平面方程.求曲线将所给方程的两边对x求导并移项，得所求切线方程为法平面方程为设曲面方程为在曲面上任取一条通过点M的曲线7.6.2曲面的切平面与法线上任何一条过点M0的曲线在点M0处的切线都在同一平面上,则称这个平面是曲面在点M0处的切平面.设M0(x0,y0,z0)是曲面上一点,如果曲面定义7.8由于曲线完全在曲面所以有恒等式上,上式对t求导数,并代入t=t0,得令曲线在M处的切向量则由于曲线是曲面上通过的任意一条曲线，它们在的切线都与同一向量垂直，故曲面上通
3、过的一切曲线在点的切线都在同一平面上，这个平面就是曲面在点的切平面.切平面方程为法线方程为曲面在M处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.定义7.9通过点M0(x0,y0,z0)而垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线.切平面上点的竖坐标的增量因为曲面在M处的切平面方程为z=f(x,y)在(x0,y0)的全微分，表示曲面z=f(x,y)在点(x0,y0,z0)处的切平面上的点的竖坐标的增量.全微分的几何意义切平面及法线方程.例3求椭圆抛物面z=x2+2y2–1在点M0(–1,2,8
4、)处的解在点M0处,法向量为所求的切平面为–2(x+1)+8(y–2)–(z–8)=0,即为2x–8y+z+10=0.法线方程为其中若表示曲面的法向量的方向角，并假定法向量的方向是向上的，即使得它与z轴的正向所成的角是锐角，则法向量的方向余弦为例4求椭球面2x2+3y2+z2=9上的点,使该点处的切平面平行于平面2x–3y+2z+12=0,并写出该点的切平面及法线方程.解设切点为M0(x0,y0,z0)，则法向量为按题意,所以有设则有将其代入到椭球面方程中,有得到t=当t=2时,得切点M1(1,
5、–1,2),当t=–2时,得切点M2(–1,1,–2)在点M1,切平面方程为2(x–1)–3(y+1)+2(z–2)=0,即2x–3y+2z–9=0.在点M2,切平面方程为2x–3y+2z+9=0.例5求椭球面上点M0(x0,y0,z0)处的切平面方程.在点M0处,曲面的法向量为解切平面方程为注意到点(x0,y0,z0)在椭球面上,其坐标应满足于椭球面方程,故上面的切平面方程可整理为设函数f(u)有连续导数，的切平面必过原点.例6证令切平面方程为即可见，曲面的所有切平面都过点在点M0(3,4,5
6、)处的切线方程.例7求曲线解利用曲面的切平面来做.球面x2+y2+z2=50在(3,4,5)点的切平面为3x+4y+5z–50=0，圆锥面x2+y2=z2在(3,4,5)点的切平面为3x+4y–5z=0.将两个切平面方程联立即为所求的切线L的一般式方程.练习1练习2处的切向量的方向余弦练习3确定正数使曲面在点相切.与球面练习1解切线方程法平面方程练习2处的切向量的方向余弦.解令则故切向量的方向余弦为练习3确定正数使曲面在点解二曲面在M点的法向量分别为二曲面在点M相切,故又点M在球面上,于是有
7、相切.与球面,因此有
