多元函数的微分学(VII)

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1、《微积分》A刻苦勤奋求实创新－理学院工科数学教学中心－第八章多元函数微分学教学内容和基本要求理解多元函数的极限与连续概念,以及有界闭区域上连续函数的性质。理解偏导数和全微分的概念,了解全微分存在的必要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。会求隐函数的偏导数和全导数。了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会解一些简单应用题。重点与难点重点：多元函数的概念，偏

2、导数与全微分的概念，多元复合函数的求导法则，用拉格朗日条件极值求最大值应用问题，方向导数与梯度。难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。一元函数的定义域是实数集R的子集，一般是一个区间.区间分为开区间和闭区间.虽然“开”与“闭”仅相差两个端点,但是对讨论函数的性质却有很大的影响.因此，这种区分是十分必要的.同样，对多元函数也有类似的问题.为了讨论多元函数的性质，有必要将R中“开”“闭”概念推广到Rn.§8.1多元函数的基本概念1.平面点集坐标平面上具有某种性质P的点的集合称为平面点集记作E

3、{(xy)

4、(xy)具有性质P}集合R2RR{(xy)

5、xyR}表示坐标平面一、多元函数的概念例如平面上以原点为中心、r为半径的圆内所有点的集合是C{(xy)

6、}或C{P

7、

8、OP

9、r}其中P表示坐标为(xy)的点

10、OP

11、表示点P到原点O的距离2.邻域3.区域例.即为开集．（连通集）的直观例如连通的开集称为区域或开区域．例.例.区域的定义有界闭区域；无界开区域．例.说明：4.聚点1.内点是聚点；2.边界点是聚点；3.点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．例.(

12、0,0)是聚点但不属于集合．例.边界上的点都是聚点也都属于集合．例.(0,0)既是边界点也是聚点．5.中的有关概念欧氏范数定义[评注]内积性质：内积柯西不等式：证:令范数性质：证明(3)：6.距离定义例1距离的性质：证明性质(3)：7,多元函数的定义二元函数三元函数解:1例3.x注意定义域的三种表示法例4解:(2)例5.解:1例6.解:1二元函数在三维空间的几何图形三维空间的曲面例7.四、多元函数的极限定义1（n重极限）二重极限[注意]：所谓二重极限存在，是指以任何方式趋于时，函数都无限接近于A解:

13、例9.解:例10.定义2（二次极限）累次极限的概念注意显然，两个二次极限都存在，未必能得出极限（二重极限）存在。如果极限存在，是否两个二次极限都存在？未必！例如：不存在！也不存在！因而二次极限而四、多元函数的连续性1,连续的定义2,二元函数连续的性质定理1定理2解:例11解：例12.例13.一个间断函数的例子五、有界闭域连续函数的性质定理2定理1定理1定理2GoodBye