多元函数微分学的几何应用(II)

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1、第六节多元函数微分学的几何应用一.空间曲线的切线与法平面设空间曲线L的参数方程为x=x(t),y=y(t),z=z(t)(1)并设x(t),y(t),z(t)都可导,且导数不同时为0.和平面曲线一样,通过空间曲线上任一点M0(x0,y0,z0)(对应于参数t=t0)的切线,定义为割线M0M,当M趋向M0时的极限位置M0T.M0MTyxzp设M0的邻近点M(x0+△x,y0+△y,z0+△z)所对应的参数为t=t0+△t.设p(x,y,z)是曲线的割线M0M上的一点.曲线的割线M0M的方程为△xi+△yj+△zk,MP=(x-x0)i+(y-y0)j+(z-z

2、0)k,因为M0M∥M0p,所以有切线的一个方向向量为T={x’(t0),y’(t0),z’(t0)}通过点M而与切线垂直的平面称为曲线L在点M处的法平面,它通过点M而以T为法向量的平面,这法平面的方程为例1求曲线x=2t,y=3t2,z=t3.在点M(2,3,1)处的切线方程和法平面方程.例2求曲线xyz=1,y2=x在点(1,1,1)处的切线及法平面方程分析:我们把曲线方程写成参数方程(1)现在我们讨论空间曲线C的方程以y=φ(x),z=ψ(x)的形式出现,取x为参数,它可表示为参数方程的形式:x=x,y=φ(x),z=ψ(x).若φ(x),ψ(x)都在

3、x=x0处可导,那么由上述讨论可知,T=(1,φ’(x0),Ψ’(x0)),因此曲线C在点M(x0,y0,z0)处的切线方程为在点M(x0,y0,z0)处的法平面方程为(2)如果曲线用两个空间曲面相交的交线形式出现时,可根据隐函数求导的方法处理.设空间曲线C的方程以(7)的形式给出M(x0,y0,z0)是曲线C上的一点,又设F,G有对各个变量的连续偏导数,且这时方程组(7)在点M(x0,y0,z0)的某邻域内确定一组函数y=φ(x),z=ψ(x),要求曲线C在点M处的切线方程和法平面方程,只要求出φ’(x0),ψ’(x0),然后代入(5),(6)两式就可以了

4、为此,我们在恒等式两边分别对x求全导数,得到由假设可知,在点M的某个邻域内故可解得于是T=(1,φ’(x0),Ψ’(x0))是曲线C在点M(x0,y0,z0)处的切向量.分子分母中带下标0的行列式表示行列式在点M(x0,y0,z0)的值,把上面的切向量T乘以,得这也是曲线C在点M处的一个切向量,所以在点M(x0,y0,z0)的切线方程为曲线C在点M(x0,y0,z0)的法平面方程为例3求球面与椭球面交线上对应于x=1点处的切线方程和法平面方程.分析:先求出x=1点为(1,1/2,1)(1,1/2,-1)曲线的向量方程及向量值函数的导数曲线C的参数方程(1)[

5、x=x(t),y=y(t),z=z(t)]也可写成向量的形式.记r=xi+yj+zk,r(t)=φ(t)i+ψ(t)j+ω(t)k则方程(1)就成为向量方程r=r(t),t∈[α,β](4)方程(4)确定一个从[α,β]→R3的映射.由于这个映射把每一个t∈[α,β],映成一个向量r(t),故称这映射为向量值函数.Cr(t0)r(t)r(t)-r(t0)xyz在几何上,r(t)是R3中的点(φ(t),ψ(t),ω(t))的向径.空间曲线C就是变向径r(t)的终点的轨迹.我们称C为向量值函数r(t)的矢量曲线.根据R3中向量的模的概念与向量的线性运算法则,可定

6、义一元向量值函数r(t)的连续性与可导性:设r(t)在点t0的某邻域内有定义,如果则称r(t)在t0连续;又若存在常向量T=(a,b,c)使得则称r(t)在t0可导,并称T为r(t)在t0的导数(或导向量),记作r’(t0)即r’(t0)=T容易证明:向量值函数r(t)在t0连续的条件是:r(t)的三个分量函数φ(t),ψ(t),ω(t)都在t0连续;r(t)在t0可导的充分必要条件是r(t)的三个分量函数φ(t),ψ(t),ω(t)都在t0可导,当r(t)在t0可导时,其导数为采用向量形式,上面研究的空间曲线的切线,切向量的结果可表达为若向量值函数r(t)

7、在t0可导,且r’(t0)≠0,则r(t)的矢端曲线C在r(t0)的终点处存在切线,r’(t0)就是切线的方向向量,它的指向与参数t的增大时点M移动的走向一致.二曲面的切平面及法线定义在曲面上,通过一点M0的任何曲线在该点的切线,如果都在同一平面上,这个平面就称为曲面在M0的切平面.正如过平面或空间曲线上一点不一定总是存在切线一样,曲面也必须具备一定的条件,它才有切平面设曲面Σ的方程为F(x,y,z)=0F(x,y,z)在点M0(x0,y0,z0)有连续的偏导数,且三个偏导数在该点不同时为0.M0TNΣ现在来证明在点M0处存在切平面,并求切平面的方程.设x=

8、x(t),y=y(t),z=z(t)(7)是过M0在