多元函数微分学的应用(II)

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1、第8.5节多元函数微分学的应用一、空间曲面的切平面与法线二、偏导数在弹性分析中的应用三、多元函数的极值与最值四、经济函数优化问题五、最小二乘法一、空间曲面的切平面与法线定理1定义解所以例1即即二、偏导数在弹性分析中的应用于是定义现实生活中，许多商品的需求量除受自身价格变化的影响外，还受其他相关商品价格变化的影响，因此交叉价格偏弹性在描述两种或两种以上商品需求量之间的关系时是非常有用的工具.解依题对两种商品的需求函数分别求偏导数得所以两种商品的需求量对价格的直接价格偏弹性分别为：两种商品的需求量对价格的

2、交叉价格偏弹性分别为：例2三、多元函数的极值与最值1.二元函数的极值定义证2.多元函数取得极值的条件定理2仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.注意：驻点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？定义定理3解例33.多元函数的最值这里我们主要考虑有界闭区域上二元连续函数的最值问题.对比有界闭区间上一元连续函数最值的计算方法，有界闭区域上二元函数的最值或者在区域的边界上取得，或者在区域的内部的极值点取得.所以要求二元函数的最值，我们只需计算出二元函数在驻点、一阶偏导数不存在的点处

3、的函数值，以及此函数在区域边界上的最值，然后将这些函数值进行比较，其中的最大值与最小值即为此有界闭区域上所求二元函数的最大值与最小值.解例44.条件极值以上讨论的二元函数极值问题中，自变量各自独立不受任何限制，通常称这种极值为无条件极值.然而许多关于极值的实际问题中，往往对自变量还有一定的条件进行约束，这种带有约束条件的极值称为条件极值.解例5对拉格朗日乘数法的几点说明：四、经济函数优化问题解例6五、最小二乘法许多经济管理问题，常常需要研究某一现象与影响它的某一最主要因素之间的关系.例如在研究粮食产量

4、时，在众多影响粮食产量的因素中施肥量是一个最重要的因素，需要研究粮食产量与施肥量之间的关系；在消费问题的研究中，由于国民收入是影响消费的最主要因素，需要研究消费额与国民收入之间的关系等.为了找出这类问题中两个变量之间的关系，往往根据两个变量的几组观测值或实验数据，找出这两个变量的近似表达式，一般称这样的表达式为经验公式.而一旦建立了经验公式，我们就可以将理论应用于实践，利用经验公式对自变量或因变量进行控制或预测.下面通过具体的实例，介绍确定经验公式中未知参数的常用方法——最小二乘法.292546251

5、917138649065605040201064利润额120销售量10987654321顺序编号例7解o