多元函数微分学(II)

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1、第七节多元函数微分学的几何应用一、空间曲线的切线与法平面二、曲面的切平面与法线三、全微分的几何意义四、梯度在场论中的意义一、空间曲线的切线与法平面1.曲线方程为参数方程的情况空间曲线切线：割线的极限位置.设空间曲线的方程为：(1)式中的三个函数均可导.法平面：过切点且垂直于过该点切线的平面.考察割线趋近于极限位置——切线的过程上式分母同除以割线的方程为曲线在M0处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.法平面：过M0点且与切线垂直的平面.若空间曲线方程为法平面方程为特殊地：2.空间曲线为一般式的情况设空间曲线方程为：2.空间曲线方程为解1(直接利用公式)

2、切线方程为则切向量为法平面方程为解2将所给方程的两边对x求导并移项,得所求切线方程为法平面方程为二、曲面的切平面与法线在曲面上任取一条通过点的曲线设曲面方程为1.上过的曲线在的切线在同一平面上——切平面.在上,得：F(x,y,z)=0曲线在处的切向量令则切平面方程为法线方程为曲面在M处的法向量即垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量.解令切平面方程法线方程2、空间曲面方程形为曲面在M处的切平面方程为曲面在M处的法线方程为令解切平面方程为法线方程为解设为曲面上的切点,切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得因为是曲面上的切点，所求切点为满足方程切平面方程(

3、1)切平面方程(2)*三、全微分的几何意义切平面上点的竖坐标的增量曲面在处的切平面方程为：四、曲面z=f(x,y)在点M处的法向量的方向余弦曲面在M处的法向量：M处切平面的法线方向其中其中例5、设曲面为，求证：曲面上任一点的切平面平行于一定直线.证:曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为(定向量)故结论成立.*3.空间曲面方程形为曲面在M处的切平面的法向量为:五、梯度在场论中的意义：等量面与等高线1.三元函数——确定空间的数量场表示等量面.2.二元函数——确定平面数量场表示等量线(等高线).等高线梯度为等高线上的法向量等高线的画法播放例如,指向外侧的法向量,指向内

4、侧的法向量,一、曲面的切平面与法线（求法向量的方向余弦时注意符号）五、小结二、空间曲线的切线与法平面（当空间曲线方程为一般式时，求切向量注意采用推导法）思考题思考题解答设切点依题意知切向量为切点满足曲面和平面方程练习题练习题答案等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法等高线的画法