多元函数的微分学(II)

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1、《微积分》A刻苦勤奋求实创新－理学院工科数学教学中心－第八章多元函数微分学教学内容和基本要求理解多元函数的极限与连续概念,以及有界闭区域上连续函数的性质。理解偏导数和全微分的概念,了解全微分存在的必要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念，并掌握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。会求隐函数的偏导数和全导数。了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单函数的最大值和最小值，会解一些简单应用题。重点与难点重点：多元函数的概念，偏导数与全微分

2、的概念，多元复合函数的求导法则，用拉格朗日条件极值求最大值应用问题，方向导数与梯度。难点：全微分的概念，多元复合函数的求导法则。§8.7方向导数和梯度定义1一、方向导数的定义定义2.设函数zf(x,y)在点P0(x0y0)的某一邻域U(P0)内有定义l是xOy平面上以P0(x0y0)为始点的一条射线与l同方向的单位向量为el(coscos)为函数在处沿方向的方向导数.Why？关于定义的说明1.函数f(x,y)在点P沿x轴正向和负向,沿y轴正向和负向的方向导数如何?结论:沿x轴正向时:沿x轴负

3、向时:沿y轴负向时:沿y轴正向时:如果函数zf(x,y)在点P0(x0y0)可微分,那么函数在该点沿任一方向l(el(coscos))的方向导数都存在,且有:定理(方向导数的计算)证明所以推广可得三元函数方向导数的定义解解解令1等值面和等值线使函数f(x,y,z)值等于常数c的点的全体组成的曲面,称为函数u=f(x,y,z)的等值面,它的方程是f(x,y,z)=c.当c取不同数值时就得到一系列等值面,称为等值面族，如气象学中的等温面、等压面等值面f(x,y,z)=c上任一点P(x,y,z)处的法向量

4、为三、梯度的概念使函数u=f(x,y)等于c的全体点组成的曲线称为此函数的等值线,它的方程是f(x,y)=c,c取不同数值时得到的一系列等值线称为等值线族.方向导数公式令向量这说明方向：f变化率最大的方向模:f的最大变化率之值方向导数取最大值：2,方向导数:1.定义即同样可定义二元函数称为函数f(P)在点P处的梯度记作在点处的梯度说明:函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量梯度方向的方向导数最大.在几何上表示一个曲面;曲面被平面所截得所得曲线在xOy面上投影如图等高线梯度为等高线上的法向量,方向指向函数的增

5、加方向梯度的几何意义:解由梯度计算公式得故GoodBye