多元函数的微分学及其应用

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1、教学内容批注第八章多元函数微分第一节多元函数的基本概念一、平面区域首先我们来了解一下在平面区域内平面点集的知识：1、邻域：给定平面内P0（x0，y0）点，和某数>0，以P0点为圆心，为半径作圆，该圆内所有点的全体，即，称为P0点的邻域，记做：，简记；2、内点：在平面点集，存在P0的一个邻域，使得，则称P0为的内点；3、开集：平面点集内的所有点都是内点，则称点集为开集；4、边界点：在平面上，存在某个点P，在P的任何邻域内，都含有点集的点，又含有不是点集的点，则称点P为点集的边界点。注意：1、点P可以在点集内，也可以不在。2、点集中孤立在外的点，称为孤立点，规定

2、，孤立点为边界点。3、所有边界点组成的集合称为边界。5、连通：如果点集内的任意两点都能用全属于的折线连接起来，则称为连通的。6、区域：连通的开集称为开区域，简称区域。称区域连同他的边界为闭区域。7、有界无界区域：对于平面点集，如果存在一个以原点为圆心的圆盘D，使，则称为有界区域，否则称为无界区域。教学内容批注1、聚点：P点的任何一个邻域内都有无限个属于点集的点，称P为点集的聚点。注意：平面点集中点的关系如图,其中：一、二元函数的极限和连续性1.二元函数定义1：设有变量x，y和z，如果当变量x，y在某一固定的范围内，任意取一对值时，变量z按照一定的法则f总有唯

3、一的确定的值与之对应，就称z为x，y的二元函数，记作：，其中x，y称为自变量，z称为因变量。自变量x，y的取值范围称为二元函数的定义域，一般用大写字母D来表示。教学内容批注注意:1、与定义1相似，我们可以直接定义n元函数（n≥1）；2、定义1中，当x，y的值取定后，z的取值就根据f的方程来定。通常情况下，这个值是唯一的，这时我们称为单值函数，但有时侯取值不是唯一的，这时我们称为多值函数。如：。一般情况，我们讨论的函数都是单值函数，如果是多值函数我们会特别说明或者用多个单值函数来处理。3、二元函数的定义域有两种。其一：我们规定的定义域，即中，x，y的取值范围。

4、如：，，其中的定义域就是。其二：我们给定的函数，使得z有确定取值的（x，y）的取值范围。如：，其定义域为：D={(x，y)

5、}。4、二元函数的图形由上一章的内容可知是一张曲面。5、两二元函数相等，即定义域相等且起对应法则也必须相等。例1求的定义域。教学内容批注解：显然要使得上式有意义。必须满足。1、二重极限定义2：设P0(x0，y0)为函数定义域D的聚点，如果当定义域内任意一点P（P0除外），以任何方式趋近P0时，即：，都有，则称在的P0二重极限为A。语言表示：，，当时，恒有：，记：。三、求极限的方法1、一元函数求极限的方法及运算法则（除L.hospital

6、法则外）对多元函数依旧成立。如：两个重要极限，等价无穷小法则等等。例2（1）、（2）、2、定义中提到任意方式趋近，我们可从中推断出：当我们能找到两条不同的路径L1，L2，使得，但是函数取得的极限却是不同的A，B时，则我们称其函数极限不存在。教学内容批注例3:讨论，在（0，0）处的极限。解：取不同路径y=kx，当x趋近0时，y趋近0，但方式不同，显然，当k取值不同是，极限也不相同。所以我们说函数在（0，0）的极限不存在。四、函数的连续性及性质定义3：设P0是函数定义域D上的聚点，且，如果：，则称函数在点P0（x0,y0）连续，否则称该点为不连续点。例：任由上面

7、例题可知，在（0，0）处是不连续的。教学内容批注注意：1、等价定义：函数在点P0（x0,y0）连续（2）、利用多元函数的连续性来解决极限问题。例4（1）、求极限解：∵，且∴原极限=0性质1、（最大值和最小值）若函数在有界闭区域D上连续，则函数f在D上有界，并且能取得最大值与最小值。性质2、（介值定理）：设函数在有界闭区域D上连续，若P1（x1，y1），P2（x2，y2）D，且，则对任何满足不等式的实数k，总存在P0（x0，y0）点，使得。特别：取得函数可以取得最大值与最小值之间的一切值教学内容批注第二节偏导数一、偏导数概念偏增量：全增量：1、定义1：设函数在

8、P0（x0，y0）的某邻域内有定义，。若存在，则称在P0（x0，y0）点关于x的偏导数存在，且其极限值为其在该点的偏导数。记做：、或者、，即：=同理：=偏导(函)数：如果函数在D内的每一点（x，y）都有偏导数，则称、为的两个偏导(函)数。教学内容批注2、偏导数的计算注意:1、求对x的偏导数时，将y视为常数，对x求导数。求对y的偏导数时，将x视为常数，对y求导数。2、偏导数的符号、是一个整体，不像可以看成dy除以dx。例1（1）、设，则求，，解：∵，∴视y为常数，则；又∵，∴视z为常数，则；又∵，∴视x为常数，则。同时，由上面计算可知。尤其注意在不等号的左边表

9、达式是错误的。（2）、设在点（1，2）处的偏导数。，