多元函数的微分学及其应用(I)

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1、微积分第十四章多元函数的微分学及其应用§14－1多元函数的概念一一些基本概念二实值函数向量值函数三二元函数定义域四二元函数的极限与连续引言微积分的研究对象是函数，我们已对一元函数作了一定的研究，但实际问题往往更复杂，许多量的变化取决于多个因素。这就需要我们对多元函数进行探讨。1、n维空间点“时间”空间1维空间R2维空间R23维空间R34维空间R43维空间R3＋时间REinsteinn维空间Rn霍金点点点一、一些基本概念距离在距离的基础上给出“邻域”的概念。以下讨论R2平面点集平面上满足一定条件的点的集合，用D表示。2、邻域是平面上一点（圆形）邻域（方形）邻域3、内点

2、若存在点P的某邻域U(P)E,则称P为E的内点若存在点P的某邻域U(P)∩E=,则称P为E的外点;若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E的外点,则称P为E的边界点。显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.4、外点5、边界点E的边界点的全体称为E的边界,记作E。D6、开集若点集E的点都是内点，则称E为开集。开区域连同它的边界一起称为闭区域.1）开集与开区间有什么关系？连通的开集称为开区域,简称区域。7、开区域E的边界点的全体称为E的边界,记作E。问题：2）R1中的开集与开区间是什么？8、闭区域闭集9、有限区域无

3、限区域例如，在平面上闭区域开区域有限区域2121开集非区域o无限区域二实值函数向量值函数1、二元函数D是R2上非空点集，R是实数集，自变量x，y则称z是x，y的二元（实值）函数。定义域D因变量z与之对应，二元函数的图形通常是一张曲面.2、n元函数3、向量值函数点函数三二元函数定义域例1求解所求定义域为的定义域四二元函数极限与连续性问题：“二重极限”与“二次极限”相等吗？比较：1）一元函数极限2）二次极限1、二重极限例2求二重极限解：解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则有k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.例3讨论函数而例

4、6讨论函数在(0,0)的极限．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．2、连续性多元初等函数：常量、具不同自变量的一元基本初等函数经有限次四则运算法则和复合运算过程而构成的函数。如：结论：一切多元初等函数再其定义区域内连续。如：除点（0，0）外都连续。又如：上间断.在圆周作业：P761(1)(2)，3，4