多元函数的微分学(I)

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1、《微积分》A刻苦勤奋求实创新-理学院工科数学教学中心-第八章多元函数微分学教学内容和基本要求理解多元函数的极限与连续概念,以及有界闭区域上连续函数的性质。理解偏导数和全微分的概念,了解全微分存在的必要和充分条件。理解方向导数和梯度的概念,并掌握其计算方法。掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法。会求隐函数的偏导数和全导数。了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念,会求二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值,会求简单函数的最大值和最小值,会解一些简单应用题。重点与难点重点:多元函数的概念,偏导数与全微分的概念,多元复合

2、函数的求导法则,用拉格朗日条件极值求最大值应用问题,方向导数与梯度。难点:全微分的概念,多元复合函数的求导法则。一、二元函数的极值§8.8多元函数的极值(1)(2)例1例2例3在1,3象限的值为正;在2,4象限的值为负;而在坐标轴上的值为0.证仿照一元函数,凡能使一阶偏导数同时为零的点,均称为函数的驻点.驻点极值点问题:如何判定一个驻点是否为极值点?注:例4求函数f(x,y)=x3–y3+3x2+3y2-9x的极值.解先解方程组求得驻点:(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2).再求二阶偏导数在点(1,0):AC–B

3、2=12×6>0,A=12>0,f(x,y)在点(1,0)有极小值f(1,0)=–5.在点(1,2):AC–B2=12×(–6)<0,f(x,y)在点(1,2)不取极值;在点(–3,2):AC–B2=–12×(–6)>0,A=–12<0,f(x,y)在点(–3,2)有极大值f(–3,2)=31.在点(–3,0):AC–B2=–12×6<0,f(x,y)在点(–3,0)不取极值;方法:(1)求函数在D内的所有驻点及不可导处的函数值;(2)求在D的边界上的最大值和最小值;(3)比较上面的数值,其中最大者即为最大值,最小者即为最小值

4、.与一元函数相类似,我们可以求有界闭区域上连续的二元函数的最大值和最小值.二、连续二元函数在有界闭区域内的最值解[解]P67,6题上一堂课问题的回顾方向导数和梯度强调1强调2方向导数和可微之间的关系例如由点到坐标原点的距离定义的函数在坐标原点处的两个偏导数均不存在,但它在该点沿任何方向的方向导数均存在,且方向导数值都等于1:想一想,该例给你什么启示函数可微是方向导数存在的充分条件,而不是必要条件。方向导数存在时,偏导数不一定存在。为了实际应该中的方便以下称待讨论极值问题的函数为目标函数。多元函数的极值问题有两类:多元函数的极值

5、的分类无约束极值—只在目标函数的定义域范围内讨论极(最)值问题。有约束极值——在附加约束(constraints)条件下,讨论目标函数的极值问题。无约束极值—只在目标函数的定义域范围内讨论极(最)值问题。例6某厂要用铁板作成一个体积为2立方米的有盖长方体水箱.问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省.解水箱所用材料的面积为即解得解方程组三、条件极值1.条件极值在数学上的提法条件极值:对自变量有附加条件的极值求下的极值。”如k=1,求如k=2,求2.条件极值的定义方法13.条件极值的解法例7解由一元函数极值存在的必要条件,

6、得所以方法2(Lagrange数乘法)其中 为待定常数,称为拉格朗日乘数,将原条件极值问题化为求三元函数的无条件极值问题由无条件极值问题必要条件有:为什么有条件极值用此种方法可行?下面我们进行分析这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。证令曲线的参数方程为解答则另一方面,由问题的实际意义知u=4×4×4=64为所求.例9截旋转抛物面其截口是一个椭圆,求截口椭圆上的最高点和最底点。解:求最高点和最底点的目标函数是但这个极值问题受限于两个约束条件,是条件极值问题,设其Lagrange函数为利用条件极值取得极值的必要条

7、件令从可知若矛盾所以因而得到:再代入,得然后由即得于是因而求得最高点为最底点为抛物面被平面截成一个椭圆.求这个椭圆到原点的最长与最短距离.解这个问题实际上就是要求目标函数在条件及下的最大,最小值问题.应用拉格朗日乘数法,令:练1对L求一阶偏导数,并令它们都等于0,则有求解这个方程组得由于所求问题存在最大最小值,故由椭圆到原点的最长距离为最短距离为求空间一点到平面的最短距离.解:设于是有练2解得所以故为所求最短距离关于应用的习题(元).解得件,件,故惟一驻点(25,17)也是最小值点,它使成本为最小,最小成本为设拉格朗日函数如何

8、购物最满意日常生活中,人们常常碰到如何分配定量的钱来购买两种物品的问题.由于钱数固定,则如果购买其中一种物品较多,那么势必要少买(甚至不再能买)另一种物品,这样就不可能很令人满意.如何花费给定量的钱,才能达到最满意的效果呢?经济学家试图借助“效用函数”(目标函数)来解决这一问

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